Exemplos

$4 x - y = 2$ , $6 x - 2 y = - 1$

Etapa 1

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 2

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 2.1

$P_{1}$ é $4 x - y = 2$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Etapa 2.2

$P_{2}$ é $6 x - 2 y = - 1$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

Etapa 2.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$24 + 2 + 0$

Etapa 2.4.3

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.4.3.1

Some $24$ e $2$ .

$26 + 0$

Etapa 2.4.3.2

Some $26$ e $0$ .

$26$

Etapa 3

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $26$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $4 x - y = 2$ .

$x = 0 + 4 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 4

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $6 x - 2 y = - 1$ .

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Etapa 5.1.1

Combine os termos opostos em $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Some $0$ e $4 \cdot t$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.1.2

Subtraia $1 \cdot t$ de $0$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$24 t - 2 (- t) = - 1$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$24 t + 2 t = - 1$

Etapa 5.1.3

Some $24 t$ e $2 t$ .

$26 t = - 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $26 t = - 1$ por $26$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $26 t = - 1$ por $26$ .

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $26$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{1}{26}$

Etapa 6

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

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Etapa 6.1

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.1.3

Simplifique $0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Etapa 6.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{26}$ para o numerador.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

Etapa 6.1.3.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

Etapa 6.1.3.1.1.3

Fatore $2$ de $26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.1.3.1.1.4

Cancele o fator comum.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.1.3.1.1.5

Reescreva a expressão.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

Etapa 6.1.3.1.2

Combine $2$ e $\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

Etapa 6.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

Etapa 6.1.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

Etapa 6.1.3.2

Subtraia $\frac{2}{13}$ de $0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

Etapa 6.2

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.2.3

Simplifique $0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $- 1 (- \frac{1}{26})$ .

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Etapa 6.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{26}$ por $1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

Etapa 6.2.3.2

Some $0$ e $\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 6.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Etapa 6.3.2

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

Etapa 6.3.3

Simplifique $0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $0 (- \frac{1}{26})$ .

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Etapa 6.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

Etapa 6.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 6.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

Etapa 7

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

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