Matemática discreta Exemplos

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ,

x + y = 2

$x + y = 2$

Etapa 1

Subtraia

y

$y$ dos dois lados da equação.

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Etapa 2

Substitua todas as ocorrências de

x

$x$ por

2 - y

$2 - y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua todas as ocorrências de

x

$x$ em

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ por

2 - y

$2 - y$ .

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva

{(2 - y)}^{2}

${(2 - y)}^{2}$ como

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ .

6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.2

Expanda

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1.1

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.3

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.5

Multiplique

y

$y$ por

y

$y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1.5.1

Mova

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplique

y

$y$ por

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.7

Multiplique

y^{2}

$y^{2}$ por

1

$1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Subtraia

2 y

$2 y$ de

- 2 y

$- 2 y$ .

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1

Multiplique

6

$6$ por

4

$4$ .

24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

6

$6$ .

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 2.2.1.2

Some

6 y^{2}

$6 y^{2}$ e

3 y^{2}

$3 y^{2}$ .

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3

Resolva

y

$y$ em

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia

12

$12$ dos dois lados da equação.

24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.2

Subtraia

12

$12$ de

24

$24$ .

- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore

3

$3$ de

- 24 y + 9 y^{2} + 12

$- 24 y + 9 y^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore

3

$3$ de

- 24 y

$- 24 y$ .

3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.1.2

Fatore

3

$3$ de

9 y^{2}

$9 y^{2}$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.1.3

Fatore

3

$3$ de

12

$12$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.1.4

Fatore

3

$3$ de

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.1.5

Fatore

3

$3$ de

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.2

Deixe

u = y

$u = y$ . Substitua

u

$u$ em todas as ocorrências de

y

$y$ .

3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.2

Para um polinômio da forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é

a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12

$a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é

b = - 8

$b = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Fatore

- 8

$- 8$ de

- 8 u

$- 8 u$ .

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.2.2

Reescreva

- 8

$- 8$ como

- 2

$- 2$ mais

- 6

$- 6$

3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.3.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum,

3 u - 2

$3 u - 2$ .

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

y

$y$ .

3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

y - 2 = 0

$y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.5

Defina

3 y - 2

$3 y - 2$ como igual a

0

$0$ e resolva para

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina

3 y - 2

$3 y - 2$ como igual a

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.5.2

Resolva

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$ para

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some

2

$2$ aos dois lados da equação.

3 y = 2

$3 y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em

3 y = 2

$3 y = 2$ por

3

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em

3 y = 2

$3 y = 2$ por

3

$3$ .

\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Etapa 3.6

Defina

$y - 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina

$y - 2$ como igual a

$0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Etapa 3.6.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ verdadeiro.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de

$y$ por

$\frac{2}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de

$y$ em

$x = 2 - y$ por

$\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique

$2 - (\frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Para escrever

$2$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Combine

$2$ e

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.1.4.2

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de

$y$ por

$2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua todas as ocorrências de

$y$ em

$x = 2 - y$ por

$2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique

$2 - (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Etapa 6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma do ponto:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Forma da equação:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Etapa 8

Insira SEU problema