Matemática discreta Exemplos

\begin{matrix} x & P (x) 2 & 0.3 5 & 0.1 8 & 0.1 11 & 0.1 14 & 0.4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.3 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 14 & 0.4 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta

x

$x$ usa um conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade

P (x)

$P (x)$ para cada valor possível

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ é igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.3

$0.3$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.3

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.1

$0.1$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.4

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.5

Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.6

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ .

0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4

$0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4$

Etapa 1.7

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de

x

$x$ é

0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some

0.3

$0.3$ e

0.1

$0.1$ .

0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.4

$0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.4$

Etapa 1.7.2

Some

0.4

$0.4$ e

0.1

$0.1$ .

0.5 + 0.1 + 0.4

$0.5 + 0.1 + 0.4$

Etapa 1.7.3

Some

0.5

$0.5$ e

0.1

$0.1$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Etapa 1.7.4

Some

0.6

$0.6$ e

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Etapa 1.8

Para cada

x

$x$ , a probabilidade de

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os

x

$x$ possíveis é igual a

1

$1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

u = 2 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4

$u = 2 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique

2

$2$ por

0.3

$0.3$ .

u = 0.6 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

Etapa 3.2

Multiplique

5

$5$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.6 + 0.5 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 0.5 + 8 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

Etapa 3.3

Multiplique

8

$8$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.4$

Etapa 3.4

Multiplique

11

$11$ por

0.1

$0.1$ .

u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 14 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 14 \cdot 0.4$

Etapa 3.5

Multiplique

14

$14$ por

0.4

$0.4$ .

u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 5.6

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 5.6$

u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 5.6

$u = 0.6 + 0.5 + 0.8 + 1.1 + 5.6$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some

0.6

$0.6$ e

0.5

$0.5$ .

u = 1.1 + 0.8 + 1.1 + 5.6

$u = 1.1 + 0.8 + 1.1 + 5.6$

Etapa 4.2

Some

1.1

$1.1$ e

0.8

$0.8$ .

u = 1.9 + 1.1 + 5.6

$u = 1.9 + 1.1 + 5.6$

Etapa 4.3

Some

1.9

$1.9$ e

1.1

$1.1$ .

u = 3 + 5.6

$u = 3 + 5.6$

Etapa 4.4

Some

3

$3$ e

5.6

$5.6$ .

u = 8.6

$u = 8.6$

u = 8.6

$u = 8.6$

Etapa 5

A variância de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual ao quadrado do desvio padrão.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

{(2 - (8.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

${(2 - (8.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

8.6

$8.6$ .

{(2 - 8.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

${(2 - 8.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.2

Subtraia

8.6

$8.6$ de

2

$2$ .

{(- 6.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

${(- 6.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.3

Eleve

- 6.6

$- 6.6$ à potência de

2

$2$ .

43.56 \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$43.56 \cdot 0.3 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.4

Multiplique

43.56

$43.56$ por

0.3

$0.3$ .

13.068 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + {(5 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.5

Multiplique

- 1

$- 1$ por

8.6

$8.6$ .

13.068 + {(5 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + {(5 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.6

Subtraia

8.6

$8.6$ de

5

$5$ .

13.068 + {(- 3.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + {(- 3.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.7

Eleve

- 3.6

$- 3.6$ à potência de

2

$2$ .

13.068 + 12.96 \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + 12.96 \cdot 0.1 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.8

Multiplique

12.96

$12.96$ por

0.1

$0.1$ .

13.068 + 1.296 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + 1.296 + {(8 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.9

Multiplique

- 1

$- 1$ por

8.6

$8.6$ .

13.068 + 1.296 + {(8 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4

$13.068 + 1.296 + {(8 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.10

Subtraia

$8.6$ de

$8$ .

$13.068 + 1.296 + {(- 0.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.11

Eleve

$- 0.6$ à potência de

$2$ .

$13.068 + 1.296 + 0.36 \cdot 0.1 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.12

Multiplique

$0.36$ por

$0.1$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {(11 - (8.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.13

Multiplique

$- 1$ por

$8.6$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {(11 - 8.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.14

Subtraia

$8.6$ de

$11$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + {2.4}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.15

Eleve

$2.4$ à potência de

$2$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 5.76 \cdot 0.1 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.16

Multiplique

$5.76$ por

$0.1$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {(14 - (8.6))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.17

Multiplique

$- 1$ por

$8.6$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {(14 - 8.6)}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.18

Subtraia

$8.6$ de

$14$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + {5.4}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.19

Eleve

$5.4$ à potência de

$2$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + 29.16 \cdot 0.4$

Etapa 7.1.20

Multiplique

$29.16$ por

$0.4$ .

$13.068 + 1.296 + 0.036 + 0.576 + 11.664$

Etapa 7.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some

$13.068$ e

$1.296$ .

$14.364 + 0.036 + 0.576 + 11.664$

Etapa 7.2.2

Some

$14.364$ e

$0.036$ .

$14.4 + 0.576 + 11.664$

Etapa 7.2.3

Some

$14.4$ e

$0.576$ .

$14.976 + 11.664$

Etapa 7.2.4

Some

$14.976$ e

$11.664$ .

$26.64$

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