Matemática discreta Exemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

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Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta $x$ usa um conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade $P (x)$ para cada valor possível $x$ . Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ é igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.3

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.4

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.5

$0.4$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.4$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.6

Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.7

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

Etapa 1.8

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de $x$ é $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

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Etapa 1.8.1

Some $0.1$ e $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Etapa 1.8.2

Some $0.3$ e $0.3$ .

$0.6 + 0.4$

Etapa 1.8.3

Some $0.6$ e $0.4$ .

$1$

Etapa 1.9

Para cada $x$ , a probabilidade de $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os $x$ possíveis é igual a $1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique $6$ por $0.1$ .

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Etapa 3.2

Multiplique $9$ por $0.2$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Etapa 3.3

Multiplique $13$ por $0.3$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

Etapa 3.4

Multiplique $16$ por $0.4$ .

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some $0.6$ e $1.8$ .

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

Etapa 4.2

Some $2.4$ e $3.9$ .

$u = 6.3 + 6.4$

Etapa 4.3

Some $6.3$ e $6.4$ .

$u = 12.7$

Etapa 5

A variância de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual ao quadrado do desvio padrão.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $12.7$ .

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.2

Subtraia $12.7$ de $6$ .

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.3

Eleve $- 6.7$ à potência de $2$ .

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.4

Multiplique $44.89$ por $0.1$ .

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.5

Multiplique $- 1$ por $12.7$ .

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.6

Subtraia $12.7$ de $9$ .

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.7

Eleve $- 3.7$ à potência de $2$ .

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.8

Multiplique $13.69$ por $0.2$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.9

Multiplique $- 1$ por $12.7$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.10

Subtraia $12.7$ de $13$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.11

Multiplique ${0.3}^{2}$ por $0.3$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.11.1

Multiplique ${0.3}^{2}$ por $0.3$ .

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Etapa 7.1.11.1.1

Eleve $0.3$ à potência de $1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.11.2

Some $2$ e $1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.12

Eleve $0.3$ à potência de $3$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.13

Multiplique $- 1$ por $12.7$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.14

Subtraia $12.7$ de $16$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

Etapa 7.1.15

Eleve $3.3$ à potência de $2$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

Etapa 7.1.16

Multiplique $10.89$ por $0.4$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

Etapa 7.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.2.1

Some $4.489$ e $2.738$ .

$7.227 + 0.027 + 4.356$

Etapa 7.2.2

Some $7.227$ e $0.027$ .

$7.254 + 4.356$

Etapa 7.2.3

Some $7.254$ e $4.356$ .

$11.61$

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