Matemática discreta Exemplos

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta

x

$x$ usa um conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade

P (x)

$P (x)$ para cada valor possível

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ é igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.3

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.2

$0.2$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.4

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0.4

$0.4$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive

Etapa 1.5

Para cada

x

$x$ , a probabilidade

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.6

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de

x

$x$ .

0.4 + 0.2 + 0.4

$0.4 + 0.2 + 0.4$

Etapa 1.7

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de

x

$x$ é

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Some

0.4

$0.4$ e

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Etapa 1.7.2

Some

0.6

$0.6$ e

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Etapa 1.8

Para cada

x

$x$ , a probabilidade de

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ e

1

$1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os

x

$x$ possíveis é igual a

1

$1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores

x

$x$

Propriedade 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique

0.4

$0.4$ por

1

$1$ .

0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Etapa 3.2

Multiplique

4

$4$ por

0.2

$0.2$ .

0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4$

Etapa 3.3

Multiplique

6

$6$ por

0.4

$0.4$ .

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some

0.4

$0.4$ e

0.8

$0.8$ .

1.2 + 2.4

$1.2 + 2.4$

Etapa 4.2

Some

1.2

$1.2$ e

2.4

$2.4$ .

3.6

$3.6$

3.6

$3.6$

Etapa 5

O desvio padrão de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual à raiz quadrada da variância.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.2

Subtraia

3.6

$3.6$ de

1

$1$ .

\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.3

Eleve

- 2.6

$- 2.6$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.4

Multiplique

6.76

$6.76$ por

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.5

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.6

Subtraia

3.6

$3.6$ de

4

$4$ .

\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.7

Eleve

0.4

$0.4$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.8

Multiplique

0.16

$0.16$ por

0.2

$0.2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.9

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.10

Subtraia

3.6

$3.6$ de

6

$6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}$

Etapa 7.11

Eleve

2.4

$2.4$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}$

Etapa 7.12

Multiplique

5.76

$5.76$ por

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}$

Etapa 7.13

Some

2.704

$2.704$ e

0.032

$0.032$ .

\sqrt{2.736 + 2.304}

$\sqrt{2.736 + 2.304}$

Etapa 7.14

Some

2.736

$2.736$ e

2.304

$2.304$ .

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Forma decimal:

2.24499443 \dots

$2.24499443 \dots$

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