Matemática discreta Exemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.3 \\ 8 & 0.1 \end{array}$

Etapa 1

Prove que a tabela em questão satisfaz as duas propriedades necessárias para uma distribuição de probabilidade.

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Etapa 1.1

Uma variável aleatória discreta $x$ usa um conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Sua distribuição de probabilidade atribui uma probabilidade $P (x)$ para cada valor possível $x$ . Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, e a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ é igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Etapa 1.2

$0.4$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.4$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.3

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.2$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.4

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.3$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.5

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0.1$ está entre $0$ e $1$ , inclusive

Etapa 1.6

Para cada $x$ , a probabilidade $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive, o que corresponde à primeira propriedade da distribuição de probabilidade.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores x

Etapa 1.7

Encontre a soma das probabilidades para todos os valores possíveis de $x$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Etapa 1.8

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de $x$ é $0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

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Etapa 1.8.1

Some $0.4$ e $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

Etapa 1.8.2

Some $0.6$ e $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

Etapa 1.8.3

Some $0.9$ e $0.1$ .

$1$

Etapa 1.9

Para cada $x$ , a probabilidade de $P (x)$ está entre $0$ e $1$ , inclusive. Além disso, a soma das probabilidades de todos os $x$ possíveis é igual a $1$ , o que significa que a tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade.

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

A tabela satisfaz as duas propriedades de uma distribuição de probabilidade:

Propriedade 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos os valores $x$

Propriedade 2: $0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Etapa 2

A média de expectativa de uma distribuição é o valor esperado quando as tentativas da distribuição continuam indefinidamente. Isso é igual a cada valor multiplicado por sua probabilidade discreta.

$1 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Multiplique $0.4$ por $1$ .

$0.4 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $0.2$ .

$0.4 + 0.6 + 4 \cdot 0.3 + 8 \cdot 0.1$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $0.3$ .

$0.4 + 0.6 + 1.2 + 8 \cdot 0.1$

Etapa 3.4

Multiplique $8$ por $0.1$ .

$0.4 + 0.6 + 1.2 + 0.8$

Etapa 4

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1

Some $0.4$ e $0.6$ .

$1 + 1.2 + 0.8$

Etapa 4.2

Some $1$ e $1.2$ .

$2.2 + 0.8$

Etapa 4.3

Some $2.2$ e $0.8$ .

$3$

Etapa 5

O desvio padrão de uma distribuição é a medida da dispersão e é igual à raiz quadrada da variância.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Etapa 6

Preencha os valores conhecidos.

$\sqrt{{(1 - (3))}^{2} \cdot 0.4 + {(3 - (3))}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{{(1 - 3)}^{2} \cdot 0.4 + {(3 - (3))}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{2} \cdot 0.4 + {(3 - (3))}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 0.4 + {(3 - (3))}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.4

Multiplique $4$ por $0.4$ .

$\sqrt{1.6 + {(3 - (3))}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{1.6 + {(3 - 3)}^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.6

Subtraia $3$ de $3$ .

$\sqrt{1.6 + 0^{2} \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{1.6 + 0 \cdot 0.2 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.8

Multiplique $0$ por $0.2$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + {(4 - (3))}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + {(4 - 3)}^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.10

Subtraia $3$ de $4$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 1^{2} \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1.6 + 0 + 1 \cdot 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.12

Multiplique $0.3$ por $1$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 0.3 + {(8 - (3))}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.13

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 0.3 + {(8 - 3)}^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.14

Subtraia $3$ de $8$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 0.3 + 5^{2} \cdot 0.1}$

Etapa 7.15

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 0.3 + 25 \cdot 0.1}$

Etapa 7.16

Multiplique $25$ por $0.1$ .

$\sqrt{1.6 + 0 + 0.3 + 2.5}$

Etapa 7.17

Some $1.6$ e $0$ .

$\sqrt{1.6 + 0.3 + 2.5}$

Etapa 7.18

Some $1.6$ e $0.3$ .

$\sqrt{1.9 + 2.5}$

Etapa 7.19

Some $1.9$ e $2.5$ .

$\sqrt{4.4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{4.4}$

Forma decimal:

$2.09761769 \dots$

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