Matemática discreta Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 4 & 4 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique

$4$ por

$3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia

$8$ de

$12$ .

$a_{11} = 4$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique

$4$ por

$3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$12$ .

$a_{12} = 8$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$8$ .

$a_{13} = 4$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$a_{21} = 4$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia

$1$ de

$9$ .

$a_{22} = 8$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$a_{23} = 4$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique

$2$ por

$4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$8$ .

$a_{31} = 4$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia

$4$ de

$12$ .

$a_{32} = 8$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique

$- 4$ por

$2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia

$8$ de

$12$ .

$a_{33} = 4$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

Etapa 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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