Matemática discreta Exemplos

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]$

Etapa 1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use o gráfico de sinais e a matriz determinada para encontrar o cofator de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calcule o menor do elemento $b_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O menor para $b_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$b_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$b_{11} = 32 - - 12$

Etapa 2.1.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$b_{11} = 32 + 12$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $32$ e $12$ .

$b_{11} = 44$

Etapa 2.2

Calcule o menor do elemento $b_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O menor para $b_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$b_{12} = 40 - 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$b_{12} = 40 - 6$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $6$ de $40$ .

$b_{12} = 34$

Etapa 2.3

Calcule o menor do elemento $b_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O menor para $b_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$b_{13} = - 20 - 2 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$b_{13} = - 20 - 8$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia $8$ de $- 20$ .

$b_{13} = - 28$

Etapa 2.4

Calcule o menor do elemento $b_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O menor para $b_{21}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$b_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$b_{21} = 16 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$b_{21} = 16 - 4$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$b_{21} = 12$

Etapa 2.5

Calcule o menor do elemento $b_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O menor para $b_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$b_{22} = 8 - 2 \cdot - 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$b_{22} = 8 + 2$

Etapa 2.5.2.2.2

Some $8$ e $2$ .

$b_{22} = 10$

Etapa 2.6

Calcule o menor do elemento $b_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O menor para $b_{23}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$b_{23} = - 4 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$b_{23} = - 4 - 4$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$b_{23} = - 8$

Etapa 2.7

Calcule o menor do elemento $b_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O menor para $b_{31}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$b_{31} = 6 - 4 \cdot - 1$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$b_{31} = 6 + 4$

Etapa 2.7.2.2.2

Some $6$ e $4$ .

$b_{31} = 10$

Etapa 2.8

Calcule o menor do elemento $b_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O menor para $b_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$b_{32} = 3 - 5 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$b_{32} = 3 + 5$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $3$ e $5$ .

$b_{32} = 8$

Etapa 2.9

Calcule o menor do elemento $b_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O menor para $b_{33}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$b_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$b_{33} = 4 - 5 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$b_{33} = 4 - 10$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia $10$ de $4$ .

$b_{33} = - 6$

Etapa 2.10

A matriz de cofatores é uma matriz dos menores com o sinal alterado para os elementos nas posições $-$ no gráfico de sinais.

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

Etapa 3

Transponha a matriz trocando suas linhas por colunas.

$[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]$

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