Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{3}{4})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $3 (- \frac{3}{4})$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 4$

Etapa 3.2.1.7.2

Combine $- 3$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 4$

Etapa 3.2.1.7.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 4$

Etapa 3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 4$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 4$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 32}{8}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 32}{8}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $32$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 41}{8}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{41}{8}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{41}{8}$ .

$- \frac{41}{8}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

Etapa 5

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