Matemática discreta Exemplos

$\begin{array}{c} Classe & Frequência \\ 10 - 14 & 1 \\ 15 - 19 & 3 \\ 20 - 24 & 9 \\ 25 - 29 & 2 \end{array}$

Etapa 1

Encontre o ponto médio

$M$ de cada grupo.

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Etapa 1.1

O limite inferior de cada classe é o menor valor dessa classe. Por outro lado, o limite superior de todas as classes é o maior valor dessa classe.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 \end{array}$

Etapa 1.2

O ponto médio da classe é o limite inferior da classe mais o limite superior da classe dividido por

$2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & \frac{10 + 14}{2} \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & \frac{15 + 19}{2} \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & \frac{20 + 24}{2} \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & \frac{25 + 29}{2} \end{array}$

Etapa 1.3

Simplifique toda a coluna do ponto médio.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & 27 \end{array}$

Etapa 1.4

Adicione a coluna de pontos médios à tabela original.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

Etapa 2

Calcule o quadrado do ponto médio de cada grupo

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12^{2} \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 17^{2} \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 22^{2} \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 27^{2} \end{array}$

Etapa 3

Simplifique a coluna

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 \end{array}$

Etapa 4

Multiplique o quadrado de cada ponto médio por sua frequência

$f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 1 \cdot 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 3 \cdot 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 9 \cdot 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 2 \cdot 729 \end{array}$

Etapa 5

Simplifique a coluna

$f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 867 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 4356 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 1458 \end{array}$

Etapa 6

Encontre a soma de todas as frequências. Neste caso, a soma de todas as frequências é

$n = 1, 3, 9, 2 = 15$ .

$\sum_{}^{} f = n = 15$

Etapa 7

Encontre a soma da coluna

$f \cdot M^{2}$ . Neste caso,

$144 + 867 + 4356 + 1458 = 6825$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 6825$

Etapa 8

Encontre a média de

$μ$ .

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Etapa 8.1

Encontre o ponto médio

$M$ de cada classe.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

Etapa 8.2

Multiplique a frequência de cada classe pelo ponto médio da classe.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 1 \cdot 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 3 \cdot 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 9 \cdot 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 2 \cdot 27 \end{array}$

Etapa 8.3

Simplifique a coluna

$f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 51 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 198 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 54 \end{array}$

Etapa 8.4

Some os valores na coluna

$f \cdot M$ .

$12 + 51 + 198 + 54 = 315$

Etapa 8.5

Some os valores na coluna de frequência.

$n = 1 + 3 + 9 + 2 = 15$

Etapa 8.6

A média (mu) é a soma de

$f \cdot M$ dividida por

$n$ , que é a soma das frequências.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Etapa 8.7

A média é a soma do produto dos pontos médios e das frequências dividida pelo total de frequências.

$μ = \frac{315}{15}$

Etapa 8.8

Simplifique o lado direito de

$μ = \frac{315}{15}$ .

$21$

Etapa 9

A equação do desvio padrão é

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Etapa 10

Substitua os valores calculados em

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$

Etapa 11

Simplifique o lado direito de

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$ para obter a variância

$S^{2} = 15$ .

$15$

Etapa 12

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância

$15$ . Nesse caso, o desvio padrão é

$3.87298334$ .

$3.87298334$

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