Matemática discreta Exemplos

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $2 x + 6$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Etapa 2.3

Combine $- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Etapa 2.5.3

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 6$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = 0, - 6$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{x + 6}{x}$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{x + 6}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $1.25$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $5$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 < x < 0$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 6 < x < 0$

Notação de intervalo:

$(- 6, 0)$

Etapa 12

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