Cálculo Exemplos

\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe

x = \frac{1}{2} \sin (t)

$x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , em que

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois,

d x = \frac{\cos (t)}{2} d t

$d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Como

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

\frac{\cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ é positivo.

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique

\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

\sin (t)

$\sin (t)$ .

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a

\frac{\sin (t)}{2}

$\frac{\sin (t)}{2}$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Fatore

4

$4$ de

- 4

$- 4$ .

\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.5

Reescreva

- 1 \sin^{2} (t)

$- 1 \sin^{2} (t)$ como

- \sin^{2} (t)

$- \sin^{2} (t)$ .

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine

\cos (t)

$\cos (t)$ e

\frac{\cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ .

\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2

Eleve

\cos (t)

$\cos (t)$ à potência de

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.3

Eleve

\cos (t)

$\cos (t)$ à potência de

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Etapa 2.2.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 3

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

t

$t$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever

\cos^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ como

\frac{1 + \cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

t

$t$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Deixe

u = 2 t

$u = 2 t$ . Depois,

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , então,

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe

u = 2 t

$u = 2 t$ . Encontre

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 9.1.2

Como

2

$2$ é constante em relação a

t

$t$ , a derivada de

2 t

$2 t$ em relação a

t

$t$ é

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine

\cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 12

A integral de

\cos (u)

$\cos (u)$ com relação a

u

$u$ é

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de

t

$t$ por

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de

t

$t$ por

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

\sin (2 \arcsin (2 x))

$\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Etapa 15.3

Combine

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ e

\arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Etapa 15.4

Multiplique

\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Multiplique

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ por

\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 15.4.2

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

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