Cálculo Exemplos

\int x \cos (3 x) d x

$\int x \cos (3 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

u = x

$u = x$ e

d v = \cos (3 x)

$d v = \cos (3 x)$ .

x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

\sin (3 x)

$\sin (3 x)$ .

x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 2.2

Combine

x

$x$ e

\frac{\sin (3 x)}{3}

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 3

Como

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para fora da integral.

\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Etapa 4

Deixe

u = 3 x

$u = 3 x$ . Depois,

d u = 3 d x

$d u = 3 d x$ , então,

\frac{1}{3} d u = d x

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe

u = 3 x

$u = 3 x$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie

3 x

$3 x$ .

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.1.2

Como

3

$3$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

3 x

$3 x$ em relação a

x

$x$ é

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine

\sin (u)

$\sin (u)$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 6

Como

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para fora da integral.

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Multiplique

3

$3$ por

3

$3$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de

\sin (u)

$\sin (u)$ com relação a

u

$u$ é

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Etapa 9

Reescreva

\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ como

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

3 x

$3 x$ .

\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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