Cálculo Exemplos

\infty \sum n = 1 \frac{1}{1 + n^{2}}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Etapa 1

Para determinar se a série é convergente, determine se a integral da sequência é convergente.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Escreva a integral como um limite à medida que

t

$t$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Reescreva

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4

A integral de

\frac{1}{1^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a

x

$x$ é

arctan (x)]_{1}^{t}

$\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

lim t \to \infty arctan (x)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie

arctan (x)

$\arctan (x)$ em

t

$t$ e em

1

$1$ .

lim t \to \infty (arctan (t)) - arctan (1)

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Etapa 5.2

Remova os parênteses.

lim t \to \infty arctan (t) - arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

lim t \to \infty arctan (t) - arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

t

$t$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty arctan (t) - lim t \to \infty arctan (1)

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Etapa 6.2

O limite à medida que

t

$t$ se aproxima de

\infty

$\infty$ é

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

\frac{π}{2} - lim t \to \infty arctan (1)

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Etapa 6.3

Avalie o limite de

arctan (1)

$\arctan (1)$ , que é constante à medida que

t

$t$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{π}{2} - arctan (1)

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Etapa 6.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

O valor exato de

arctan (1)

$\arctan (1)$ é

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.2

Para escrever

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de

4

$4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.3.2

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{π \cdot 2 - π}{4}

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Etapa 6.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Mova

2

$2$ para a esquerda de

π

$π$ .

\frac{2 \cdot π - π}{4}

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Etapa 6.4.5.2

Subtraia

π

$π$ de

2 π

$2 π$ .

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$

Etapa 7

Como a integral é convergente, a série é convergente.

Insira SEU problema