Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Etapa 1

Verifique se a função é contínua nos limites da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${k | k \in ℝ}$

Etapa 1.2

$f (k)$ é contínuo em $[1, \infty)$ .

$A função é contínua.$

Etapa 2

Verifique se a função é positiva nos limites.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Estabeleça uma desigualdade.

$k e^{k^{2}} > 0$

Etapa 2.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina $k$ como igual a $0$ .

$k = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $e^{k^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Defina $e^{k^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Etapa 2.2.3.2

Resolva $e^{k^{2}} = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.3.2.3

Não há uma solução para $e^{k^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $k e^{k^{2}} > 0$ verdadeiro.

$k = 0$

Etapa 2.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$k > 0$

Etapa 3

Determine onde a função está decrescendo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Escreva $k e^{k^{2}}$ como uma função.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Etapa 3.2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ é $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ , em que $f (k) = k$ e $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ é $f' (g (k)) g' (k)$ , em que $f (k) = e^{k}$ e $g (k) = k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Etapa 3.2.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $e^{k^{2}}$ por $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Etapa 3.2.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.10.1

Reordene os termos.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Etapa 3.2.1.10.2

Reordene os fatores em $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Etapa 3.2.2

A primeira derivada de $f (k)$ com relação a $k$ é $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Etapa 3.3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $e^{k^{2}}$ de $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $e^{k^{2}}$ de $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $e^{k^{2}}$ de $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Etapa 3.3.4

Defina $e^{k^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Defina $e^{k^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Etapa 3.3.4.2

Resolva $e^{k^{2}} = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 3.3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{k^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.3.5

Defina $2 k^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Defina $2 k^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Resolva $2 k^{2} + 1 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 k^{2} = - 1$

Etapa 3.3.5.2.2

Divida cada termo em $2 k^{2} = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 k^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.5.2.2.2.1.2

Divida $k^{2}$ por $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.3.5.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.3.5.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4

Não há valores de $k$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 3.5

Nenhum ponto torna a derivada $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (k) = k e^{k^{2}}$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 3.6

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua a variável $k$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.4

Simplifique.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 2 e + e$

Etapa 3.6.2.1.6

Simplifique.

$f' (1) = 2 e + e$

Etapa 3.6.2.2

Some $2 e$ e $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Etapa 3.6.2.3

A resposta final é $3 e$ .

$3 e$

Etapa 3.7

O resultado da substituição de $1$ em $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ é $3 e$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Etapa 3.8

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

$Sempre crescente$

Etapa 4

O teste integral não se aplica porque a função nem sempre está diminuindo de $1$ para $\infty$ .

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