Cálculo Exemplos

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Etapa 1

Para uma série infinita

\sum_{}^{} a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , encontre o limite

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar a convergência usando o Teste da raiz de Cauchy.

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 2

Substitua

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o expoente para o valor absoluto.

L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em

{({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de

n

$n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Etapa 3.3

Simplifique.

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova o limite para dentro dos sinais de valor absoluto.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Etapa 4.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de

n

$n$ no denominador, que é

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Cancele o fator comum de

n

$n$ e

n^{3}

$n^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.1

Fatore

n

$n$ de

2 n

$2 n$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.2.1

Fatore

n

$n$ de

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum de

n^{3}

$n^{3}$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de

n^{3}

$n^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.2.2

Divida

5

$5$ por

1

$1$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.5

Mova o termo

2

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

n

$n$ .

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

\frac{1}{n^{2}}

$\frac{1}{n^{2}}$ se aproxima de

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5

Avalie o limite.

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Etapa 4.5.1

Avalie o limite de

1

$1$ , que é constante à medida que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5.3

Avalie o limite de

5

$5$ , que é constante à medida que

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

\frac{1}{n^{3}}

$\frac{1}{n^{3}}$ se aproxima de

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1.1

Multiplique

2

$2$ por

0

$0$ .

L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7.1.2

Some

0

$0$ e

1

$1$ .

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7.2

Some

5

$5$ e

0

$0$ .

L = | \frac{1}{5} |

$L = | \frac{1}{5} |$

Etapa 4.7.3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ é aproximadamente

0.2

$0.2$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

Etapa 4.8

Divida

1

$1$ por

5

$5$ .

L = 0.2

$L = 0.2$

L = 0.2

$L = 0.2$

Etapa 5

L < 1

$L < 1$ , a série é absolutamente convergente. Se

L > 1

$L > 1$ , a série é divergente. Se

L = 1

$L = 1$ , o teste é inconclusivo. Neste caso,

L < 1

$L < 1$ .

A série é convergente em

[1, \infty)

$[1, \infty)$

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