Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Etapa 1

Para uma série infinita $\sum_{}^{} a_{n}$ , encontre o limite $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar a convergência usando o Teste da raiz de Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 2

Substitua $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o expoente para o valor absoluto.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 3.4

Avalie o expoente.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.1

Mova o limite para dentro dos sinais de valor absoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 4.1.2

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 4.1.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 4.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Etapa 4.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $n^{\frac{1}{n}}$ como $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Etapa 4.2.2

Expanda $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ movendo $\frac{1}{n}$ para fora do logaritmo.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.3.1

Mova o limite para o expoente.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{n}$ e $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Etapa 4.4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Etapa 4.4.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Etapa 4.4.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Etapa 4.4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Etapa 4.4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Etapa 4.4.3.2

A derivada de $\ln (n)$ em relação a $n$ é $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Etapa 4.4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Etapa 4.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Etapa 4.4.5

Multiplique $\frac{1}{n}$ por $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Etapa 4.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n}$ se aproxima de $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Etapa 4.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.6.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Etapa 4.6.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.6.2.1

Cancele o fator comum.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Etapa 4.6.2.2

Reescreva a expressão.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Etapa 4.6.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$L = | - 2 |$

Etapa 4.6.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$L = 2$

Etapa 5

Se $L < 1$ , a série é absolutamente convergente. Se $L > 1$ , a série é divergente. Se $L = 1$ , o teste é inconclusivo. Neste caso, $L > 1$ .

A série é divergente em $[0, \infty)$

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