Cálculo Exemplos

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Etapa 1

A série é divergente se o limite da sequência conforme $n$ se aproxima de $\infty$ não existe ou não é igual a $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $n$ no denominador, que é $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $n^{2}$ e $n^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $n^{2}$ de $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Fatore $n^{2}$ de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite.

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Etapa 2.4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.4.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Etapa 2.4.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Etapa 2.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Etapa 2.6.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 3

O limite existe e não é igual a $0$ , então a série é divergente.

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