Cálculo Exemplos

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Etapa 1

Defina

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ como igual a

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Etapa 2

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Etapa 2.1.1.3

Substitua

2

$2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

0

$0$ . Portanto,

2

$2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua

2

$2$ no polinômio.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve

2

$2$ à potência de

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.1.1.3.3

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.1.1.3.4

Multiplique

- 4

$- 4$ por

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.1.1.3.5

Subtraia

16

$16$ de

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Etapa 2.1.1.3.6

Multiplique

- 11

$- 11$ por

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

Etapa 2.1.1.3.7

Subtraia

22

$22$ de

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

Etapa 2.1.1.3.8

Some

- 30

$- 30$ e

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como

2

$2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

x - 2

$x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Etapa 2.1.1.5

Divida

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ por

x - 2

$x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

x^{3}

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

- 15 x

$- 15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é

$0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Etapa 2.1.1.6

Escreva

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore

$x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore

$x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$- 15$ e cuja soma é

$- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4

Defina

$x - 5$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina

$x - 5$ como igual a

$0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Some

$5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.5

Defina

$x + 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina

$x + 3$ como igual a

$0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia

$3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = 2$ (Multiplicidade de

$1$ )

$x = 5$ (Multiplicidade de

$1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidade de

$1$ )

$x = 2$ (Multiplicidade de

$1$ )

$x = 5$ (Multiplicidade de

$1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidade de

$1$ )

Etapa 3

Insira SEU problema