Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

$(1, 6)$

Etapa 1

Escreva

$y = 3 x^{2} + 3 x$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ em

$x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique

$3$ por

$1$ .

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique

$3$ por

$1$ .

$f (1) = 3 + 3$

Etapa 2.1.2.2

Some

$3$ e

$3$ .

$f (1) = 6$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é

$6$ .

$6$

Etapa 2.2

Como

$6 = 6$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$

$=$ A derivada de

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em

$x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Reescreva

${(x + h)}^{2}$ como

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2

Expanda

$(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1.1

Multiplique

$x$ por

$x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.1.2

Multiplique

$h$ por

$h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2

Some

$x h$ e

$h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.2.1

Reordene

$x$ e

$h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2.2

Some

$h x$ e

$h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.5

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova

$3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.2

Mova

$3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.3

Reordene

$6 h x$ e

$3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.2

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.3

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.4

Subtraia

$3 x^{2}$ de

$3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.5

Some

$3 h^{2}$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.6

Subtraia

$3 x$ de

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.7

Some

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8

Fatore

$3 h$ de

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1

Fatore

$3 h$ de

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.2

Fatore

$3 h$ de

$6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.3

Fatore

$3 h$ de

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Etapa 7.1.8.4

Fatore

$3 h$ de

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Etapa 7.1.8.5

Fatore

$3 h$ de

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Etapa 7.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de

$h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida

$3 (h + 2 x + 1)$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Etapa 7.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Etapa 7.3.2

Multiplique

$3$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Etapa 7.4

Reordene

$3 h$ e

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.2

Avalie o limite de

$6 x$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.3

Mova o termo

$3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.4

Avalie o limite de

$3$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Etapa 9

Avalie o limite de

$h$ substituindo

$0$ por

$h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique

$3$ por

$0$ .

$6 x + 0 + 3$

Etapa 10.2

Some

$6 x$ e

$0$ .

$6 x + 3$

Etapa 11

Simplifique

$6 (1) + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique

$6$ por

$1$ .

$m = 6 + 3$

Etapa 11.2

Some

$6$ e

$3$ .

$m = 9$

Etapa 12

A inclinação é

$m = 9$ , e o ponto é

$(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Etapa 13

Encontre o valor de

$b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar

$b$ .

$y = m x + b$

Etapa 13.2

Substitua o valor de

$m$ na equação.

$y = (9) \cdot x + b$

Etapa 13.3

Substitua o valor de

$x$ na equação.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Etapa 13.4

Substitua o valor de

$y$ na equação.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Etapa 13.5

Encontre o valor de

$b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva a equação como

$(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Etapa 13.5.2

Multiplique

$9$ por

$1$ .

$9 + b = 6$

Etapa 13.5.3

Mova todos os termos que não contêm

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.3.1

Subtraia

$9$ dos dois lados da equação.

$b = 6 - 9$

Etapa 13.5.3.2

Subtraia

$9$ de

$6$ .

$b = - 3$

Etapa 14

Agora que os valores de

$m$ (inclinação) e

$b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em

$y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 9 x - 3$

Etapa 15

Insira SEU problema