Cálculo Exemplos

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Etapa 1

Escreva $y = {(x + 3)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Some $1$ e $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (1) = 16$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 2.2

Como $16 = 16$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Reescreva ${(x + h + 3)}^{2}$ como $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Etapa 5.1.2.2

Expanda $(x + h + 3) (x + h + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.4

Mova $3$ para a esquerda de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.4

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.4.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.4.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.5

Some $3 x$ e $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.6

Some $3 h$ e $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.1.2.7

A resposta final é $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.2.2

Reordene $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Etapa 7.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.4

Some $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.5

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Etapa 7.1.6

Some $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Etapa 7.1.7

Subtraia $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.8

Some $h^{2} + 2 h x + 6 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9

Fatore $h$ de $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.9.1

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9.2

Fatore $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9.3

Fatore $h$ de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Etapa 7.1.9.4

Fatore $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Etapa 7.1.9.5

Fatore $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $h + 2 x + 6$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Etapa 7.2.2

Reordene $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Etapa 9

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Etapa 10

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x + 6$

Etapa 11

Simplifique $2 (1) + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$m = 2 + 6$

Etapa 11.2

Some $2$ e $6$ .

$m = 8$

Etapa 12

A inclinação é $m = 8$ , e o ponto é $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Etapa 13

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 13.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (8) \cdot x + b$

Etapa 13.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Etapa 13.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Etapa 13.5

Encontre o valor de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva a equação como $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Etapa 13.5.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + b = 16$

Etapa 13.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$b = 16 - 8$

Etapa 13.5.3.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$b = 8$

Etapa 14

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 8 x + 8$

Etapa 15

Insira SEU problema