Cálculo Exemplos

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Etapa 2

Substitua na equação diferencial determinada.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Etapa 3.2

Some $- 6 e^{- 2 x}$ e $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Etapa 4

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = 3 e^{- 2 x}$ é uma solução para $y' + 2 y = 0$

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