Cálculo Exemplos

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ ,

(1, 1)

$(1, 1)$

Etapa 1

Presuma que

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Etapa 2

Verifique se a função é contínua nas proximidades de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Etapa 2.1

Substitua

(1, 1)

$(1, 1)$ valores em

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua

1

$1$ por

x

$x$ .

2 \cdot 1^{2} y^{2}

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

Etapa 2.1.2

Substitua

1

$1$ por

y

$y$ .

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

Etapa 2.2

Como não existe um logaritmo com argumento negativo ou zero, nenhum radical par com radicando zero ou negativo e nenhuma fração com zero no denominador, a função é contínua em um intervalo aberto em torno do valor

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Contínuo

Etapa 3

Encontre a derivada parcial com relação a

y

$y$ .

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Etapa 3.1

Determine a derivada parcial.

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2

Como

2 x^{2}

$2 x^{2}$ é constante em relação a

y

$y$ , a derivada de

2 x^{2} y^{2}

$2 x^{2} y^{2}$ em relação a

y

$y$ é

2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

Etapa 3.4

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

Etapa 4

Verifique se a derivada parcial com relação a

y

$y$ é contínua nas proximidades de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Etapa 4.1

Substitua

1

$1$ por

y

$y$ .

4 x^{2} \cdot 1

$4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.2

y

$y$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Contínuo

Etapa 5

Tanto a função quanto sua derivada parcial com relação a

y

$y$ são contínuas em um intervalo aberto em torno do valor

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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