Cálculo Exemplos

\frac{d y}{d x} + y = e^{x}

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , em que

P (x) = 1

$P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

e^{\int d x}

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

e^{x + C}

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

e^{x}

$e^{x}$

e^{x}

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração

e^{x}

$e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por

e^{x}

$e^{x}$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Etapa 2.2

Multiplique

e^{x}

$e^{x}$ por

e^{x}

$e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Etapa 2.2.2

Some

x

$x$ e

x

$x$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em

e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

e^{x} y = \int e^{2 x} d x

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Depois,

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , então,

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.1.2

Como

2

$2$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

2 x

$2 x$ em relação a

x

$x$ é

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.1.4

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6.2

Combine

e^{u}

$e^{u}$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6.3

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 6.4

A integral de

e^{u}

$e^{u}$ com relação a

u

$u$ é

e^{u}

$e^{u}$ .

e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 6.5

Simplifique.

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 6.6

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

2 x

$2 x$ .

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por

e^{x}

$e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em

e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por

e^{x}

$e^{x}$ .

\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de

e^{x}

$e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida

$y$ por

$1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de

$e^{2 x}$ e

$e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore

$e^{x}$ de

$\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por

$1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida

$\frac{1}{2} e^{x}$ por

$1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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