Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Presuma que $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Etapa 1.2

Combine $\sqrt{y^{2}}$ e $\sqrt{x y}$ em um único radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Etapa 1.3

Reduza a expressão $\frac{y^{2}}{x y}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Etapa 1.3.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Etapa 1.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + \sqrt{V} - V$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Some $0$ e $\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{V}$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{V}$ como $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Mova $V^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $V$ é $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 6.3.1.2.2

Divida $V^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.3.1.1

Reescreva $\frac{\ln (| x |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 6.3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.3.1

Simplifique ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 6.3.3.1.2

Simplifique.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em ${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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