Cálculo Exemplos
x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy
Etapa 1
Etapa 1.1
Divida cada termo em x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy por xx e simplifique.
Etapa 1.1.1
Divida cada termo em x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy por xx.
x⋅dydxx=yx+√xyxx⋅dydxx=yx+√xyx
Etapa 1.1.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 1.1.2.1
Cancele o fator comum de xx.
Etapa 1.1.2.1.1
Cancele o fator comum.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Etapa 1.1.2.1.2
Divida dydx por 1.
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
Etapa 1.2
Presuma que √x2=x.
dydx=yx+√xy√x2
Etapa 1.3
Combine √xy e √x2 em um único radical.
dydx=yx+√xyx2
Etapa 1.4
Reduza a expressão xyx2 cancelando os fatores comuns.
Etapa 1.4.1
Fatore x de xy.
dydx=yx+√x(y)x2
Etapa 1.4.2
Fatore x de x2.
dydx=yx+√x(y)x⋅x
Etapa 1.4.3
Cancele o fator comum.
dydx=yx+√xyx⋅x
Etapa 1.4.4
Reescreva a expressão.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
Etapa 2
Deixe V=yx. Substitua V por yx.
dydx=V+√V
Etapa 3
Resolva V=yx para y.
y=Vx
Etapa 4
Use a regra do produto para encontrar a derivada de y=Vx com relação a x.
dydx=xdVdx+V
Etapa 5
Substitua xdVdx+V por dydx.
xdVdx+V=V+√V
Etapa 6
Etapa 6.1
Separe as variáveis.
Etapa 6.1.1
Resolva dVdx.
Etapa 6.1.1.1
Mova todos os termos que não contêm dVdx para o lado direito da equação.
Etapa 6.1.1.1.1
Subtraia V dos dois lados da equação.
xdVdx=V+√V-V
Etapa 6.1.1.1.2
Combine os termos opostos em V+√V-V.
Etapa 6.1.1.1.2.1
Subtraia V de V.
xdVdx=0+√V
Etapa 6.1.1.1.2.2
Some 0 e √V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
Etapa 6.1.1.2
Divida cada termo em xdVdx=√V por x e simplifique.
Etapa 6.1.1.2.1
Divida cada termo em xdVdx=√V por x.
xdVdxx=√Vx
Etapa 6.1.1.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.1.1.2.2.1
Cancele o fator comum de x.
Etapa 6.1.1.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
xdVdxx=√Vx
Etapa 6.1.1.2.2.1.2
Divida dVdx por 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
Etapa 6.1.2
Multiplique os dois lados por 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Etapa 6.1.3
Cancele o fator comum de √V.
Etapa 6.1.3.1
Cancele o fator comum.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Etapa 6.1.3.2
Reescreva a expressão.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
Etapa 6.1.4
Reescreva a equação.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
Etapa 6.2
Integre os dois lados.
Etapa 6.2.1
Determine uma integral de cada lado.
∫1√VdV=∫1xdx
Etapa 6.2.2
Integre o lado esquerdo.
Etapa 6.2.2.1
Aplique regras básicas de expoentes.
Etapa 6.2.2.1.1
Use n√ax=axn para reescrever √V como V12.
∫1V12dV=∫1xdx
Etapa 6.2.2.1.2
Mova V12 para fora do denominador, elevando-o à -1 potência.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
Etapa 6.2.2.1.3
Multiplique os expoentes em (V12)-1.
Etapa 6.2.2.1.3.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
Etapa 6.2.2.1.3.2
Combine 12 e -1.
∫V-12dV=∫1xdx
Etapa 6.2.2.1.3.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
Etapa 6.2.2.2
De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de V-12 com relação a V é 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
Etapa 6.2.3
A integral de 1x com relação a x é ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Etapa 6.2.4
Agrupe a constante de integração no lado direito como C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Etapa 6.3
Resolva V.
Etapa 6.3.1
Divida cada termo em 2V12=ln(|x|)+C por 2 e simplifique.
Etapa 6.3.1.1
Divida cada termo em 2V12=ln(|x|)+C por 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.3.1.2.1
Cancele o fator comum.
2V122=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.2.2
Divida V12 por 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 6.3.1.3.1
Simplifique cada termo.
Etapa 6.3.1.3.1.1
Reescreva ln(|x|)2 como 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Etapa 6.3.1.3.1.2
Simplifique 12ln(|x|) movendo 12 para dentro do logaritmo.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Etapa 6.3.2
Eleve cada lado da equação à potência de 2 para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 6.3.3.1
Simplifique (V12)2.
Etapa 6.3.3.1.1
Multiplique os expoentes em (V12)2.
Etapa 6.3.3.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.1.2
Cancele o fator comum de 2.
Etapa 6.3.3.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.2
Simplifique.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.4
Simplifique a constante de integração.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Etapa 7
Substitua yx por V.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Etapa 8
Etapa 8.1
Multiplique os dois lados por x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2
Simplifique.
Etapa 8.2.1
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 8.2.1.1
Cancele o fator comum de x.
Etapa 8.2.1.1.1
Cancele o fator comum.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2.1.1.2
Reescreva a expressão.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 8.2.2.1
Reordene os fatores em (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2