Cálculo Exemplos

Resolver a equação diferencial
xdydx=y+xyxdydx=y+xy
Etapa 1
Reescreva a equação diferencial como uma função de yxyx.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Divida cada termo em xdydx=y+xyxdydx=y+xy por xx e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Divida cada termo em xdydx=y+xyxdydx=y+xy por xx.
xdydxx=yx+xyxxdydxx=yx+xyx
Etapa 1.1.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.1
Cancele o fator comum de xx.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.1.1
Cancele o fator comum.
xdydxx=yx+xyx
Etapa 1.1.2.1.2
Divida dydx por 1.
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
Etapa 1.2
Presuma que x2=x.
dydx=yx+xyx2
Etapa 1.3
Combine xy e x2 em um único radical.
dydx=yx+xyx2
Etapa 1.4
Reduza a expressão xyx2 cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Fatore x de xy.
dydx=yx+x(y)x2
Etapa 1.4.2
Fatore x de x2.
dydx=yx+x(y)xx
Etapa 1.4.3
Cancele o fator comum.
dydx=yx+xyxx
Etapa 1.4.4
Reescreva a expressão.
dydx=yx+yx
dydx=yx+yx
dydx=yx+yx
Etapa 2
Deixe V=yx. Substitua V por yx.
dydx=V+V
Etapa 3
Resolva V=yx para y.
y=Vx
Etapa 4
Use a regra do produto para encontrar a derivada de y=Vx com relação a x.
dydx=xdVdx+V
Etapa 5
Substitua xdVdx+V por dydx.
xdVdx+V=V+V
Etapa 6
Resolva a equação diferencial substituída.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Separe as variáveis.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1
Resolva dVdx.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.1
Mova todos os termos que não contêm dVdx para o lado direito da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.1.1
Subtraia V dos dois lados da equação.
xdVdx=V+V-V
Etapa 6.1.1.1.2
Combine os termos opostos em V+V-V.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.1.2.1
Subtraia V de V.
xdVdx=0+V
Etapa 6.1.1.1.2.2
Some 0 e V.
xdVdx=V
xdVdx=V
xdVdx=V
Etapa 6.1.1.2
Divida cada termo em xdVdx=V por x e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.2.1
Divida cada termo em xdVdx=V por x.
xdVdxx=Vx
Etapa 6.1.1.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.2.2.1
Cancele o fator comum de x.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
xdVdxx=Vx
Etapa 6.1.1.2.2.1.2
Divida dVdx por 1.
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
Etapa 6.1.2
Multiplique os dois lados por 1V.
1VdVdx=1VVx
Etapa 6.1.3
Cancele o fator comum de V.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.1
Cancele o fator comum.
1VdVdx=1VVx
Etapa 6.1.3.2
Reescreva a expressão.
1VdVdx=1x
1VdVdx=1x
Etapa 6.1.4
Reescreva a equação.
1VdV=1xdx
1VdV=1xdx
Etapa 6.2
Integre os dois lados.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Determine uma integral de cada lado.
1VdV=1xdx
Etapa 6.2.2
Integre o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1
Aplique regras básicas de expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1.1
Use nax=axn para reescrever V como V12.
1V12dV=1xdx
Etapa 6.2.2.1.2
Mova V12 para fora do denominador, elevando-o à -1 potência.
(V12)-1dV=1xdx
Etapa 6.2.2.1.3
Multiplique os expoentes em (V12)-1.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1.3.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
V12-1dV=1xdx
Etapa 6.2.2.1.3.2
Combine 12 e -1.
V-12dV=1xdx
Etapa 6.2.2.1.3.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
V-12dV=1xdx
V-12dV=1xdx
V-12dV=1xdx
Etapa 6.2.2.2
De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de V-12 com relação a V é 2V12.
2V12+C1=1xdx
2V12+C1=1xdx
Etapa 6.2.3
A integral de 1x com relação a x é ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Etapa 6.2.4
Agrupe a constante de integração no lado direito como C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Etapa 6.3
Resolva V.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Divida cada termo em 2V12=ln(|x|)+C por 2 e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1.1
Divida cada termo em 2V12=ln(|x|)+C por 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1.2.1
Cancele o fator comum.
2V122=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.2.2
Divida V12 por 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Etapa 6.3.1.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1.3.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1.3.1.1
Reescreva ln(|x|)2 como 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Etapa 6.3.1.3.1.2
Simplifique 12ln(|x|) movendo 12 para dentro do logaritmo.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Etapa 6.3.2
Eleve cada lado da equação à potência de 2 para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1
Simplifique (V12)2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1.1
Multiplique os expoentes em (V12)2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
V122=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.1.2
Cancele o fator comum de 2.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
V122=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.3.3.1.2
Simplifique.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Etapa 6.4
Simplifique a constante de integração.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Etapa 7
Substitua yx por V.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Etapa 8
Resolva yx=(ln(|x|12)+C)2 para y.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Multiplique os dois lados por x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1.1
Cancele o fator comum de x.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1.1.1
Cancele o fator comum.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2.1.1.2
Reescreva a expressão.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Etapa 8.2.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.2.1
Reordene os fatores em (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
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