Cálculo Exemplos

(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

Etapa 1

Encontre

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ em

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie

M

$M$ em relação a

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

3 x^{2} y + y^{2}

$3 x^{2} y + y^{2}$ com relação a

y

$y$ é

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como

3 x^{2}

$3 x^{2}$ é constante em relação a

y

$y$ , a derivada de

3 x^{2} y

$3 x^{2} y$ em relação a

y

$y$ é

3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

Etapa 2

Encontre

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ em

N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie

N

$N$ em relação a

x

$x$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + 3$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 3

$n = 3$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

Avalie

\frac{d}{d x} [2 x y]

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como

2 y

$2 y$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

2 x y

$2 x y$ em relação a

x

$x$ é

2 y \frac{d}{d x} [x]

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como

3

$3$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

3

$3$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

Etapa 2.4.2

Some

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ e

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Etapa 3

Verifique se

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ por

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ e

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ por

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ é uma identidade.

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de

f (x, y)

$f (x, y)$ é

M (x, y)

$M (x, y)$ .

f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

Etapa 5

Integre

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ para encontrar

f (x, y)

$f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

Etapa 5.2

Como

3 y

$3 y$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

3 y

$3 y$ para fora da integral.

f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

x^{2}

$x^{2}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

Etapa 5.5

Combine

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

x^{3}

$x^{3}$ .

f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

Etapa 6

Como a integral de

g (y)

$g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir

C

$C$ por

g (y)

$g (y)$ .

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

Etapa 7

Defina

\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8

Encontre

\frac{\partial f}{\partial y}

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie

f

$f$ em relação a

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ com relação a

y

$y$ é

\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.3

Avalie

\frac{d}{d y} [y x^{3}]

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como

x^{3}

$x^{3}$ é constante em relação a

y

$y$ , a derivada de

y x^{3}

$y x^{3}$ em relação a

y

$y$ é

x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.3.3

Multiplique

x^{3}

$x^{3}$ por

1

$1$ .

x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.4

Avalie

\frac{d}{d y} [y^{2} x]

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Como

x

$x$ é constante em relação a

y

$y$ , a derivada de

y^{2} x

$y^{2} x$ em relação a

y

$y$ é

x \frac{d}{d y} [y^{2}]

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.4.3

Mova

2

$2$ para a esquerda de

x

$x$ .

x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de

g (y)

$g (y)$ é

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ .

x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

Etapa 9

Resolva

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia

x^{3}

$x^{3}$ dos dois lados da equação.

\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

Etapa 9.1.2

Subtraia

2 x y

$2 x y$ dos dois lados da equação.

\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em

x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Subtraia

x^{3}

$x^{3}$ de

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

Etapa 9.1.3.2

Some

2 x y + 3

$2 x y + 3$ e

0

$0$ .

\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia

2 x y

$2 x y$ de

2 x y

$2 x y$ .

\frac{d g}{d y} = 0 + 3

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Etapa 9.1.3.4

Some

0

$0$ e

3

$3$ .

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de

3

$3$ para encontrar

g (y)

$g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de

\frac{d g}{d y} = 3

$\frac{d g}{d y} = 3$ .

\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Etapa 10.2

Avalie

\int \frac{d g}{d y} d y

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

g (y) = \int 3 d y

$g (y) = \int 3 d y$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

g (y) = 3 y + C

$g (y) = 3 y + C$

g (y) = 3 y + C

$g (y) = 3 y + C$

Etapa 11

Substitua por

g (y)

$g (y)$ em

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ .

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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