Cálculo Exemplos

\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ , em que

n

$n$ é o expoente de

y^{2}

$y^{2}$ .

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

Etapa 2

Resolva a equação para

y

$y$ .

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

Etapa 3

Calcule a derivada de

y

$y$ com relação a

x

$x$ .

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de

v^{- 1}

$v^{- 1}$ com relação a

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Calcule a derivada de

v^{- 1}

$v^{- 1}$ .

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que

f (x) = 1

$f (x) = 1$ e

g (x) = v

$g (x) = v$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.2

Como

1

$1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

1

$1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Multiplique

v

$v$ por

0

$0$ .

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ de

0

$0$ .

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ como

v'

$v'$ .

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 5

Substitua

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ por

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ e

v^{- 1}

$v^{- 1}$ por

y

$y$ na equação original

\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ .

- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação diferencial como

\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Reescreva a equação como

M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)

$M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Multiplique cada termo em

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ por

- v^{2}

$- v^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Multiplique cada termo em

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ por

- v^{2}

$- v^{2}$ .

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de

v^{2}

$v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.1.2

Fatore

v^{2}

$v^{2}$ de

- v^{2}

$- v^{2}$ .

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.3

Multiplique

$\frac{d v}{d x}$ por

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.4

Multiplique

$v^{- 1}$ por

$v^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.2.1.4.1

Mova

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.4.3

Subtraia

$1$ de

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.5

Simplifique

$2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.2.1.6

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 6.1.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Etapa 6.1.1.1.3.2

Multiplique os expoentes em

${(v^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Etapa 6.1.1.1.3.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Etapa 6.1.1.1.3.3

Multiplique

$v^{- 2}$ por

$v^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.3.3.1

Mova

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Etapa 6.1.1.1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Etapa 6.1.1.1.3.3.3

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Etapa 6.1.1.1.3.4

Simplifique

$- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Etapa 6.1.1.2

Reordene os termos.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Etapa 6.1.2

Fatore

$v$ de

$- 2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Etapa 6.1.3

Reordene

$v$ e

$- 2 x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula

$e^{\int P (x) d x}$ , em que

$P (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 x d x}$

Etapa 6.2.2

Integre

$- 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Como

$- 2$ é constante com relação a

$x$ , mova

$- 2$ para fora da integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Etapa 6.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Reescreva

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como

$- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Combine

$- 2$ e

$\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de

$- 2$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.2.1

Fatore

$2$ de

$- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.2.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Etapa 6.2.2.3.2.2.2.4

Divida

$- 1$ por

$1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração

$e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por

$e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Como

$- 1$ é constante com relação a

$x$ , mova

$- 1$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Etapa 6.7.2

Deixe

$u_{1} = - x^{2}$ . Depois,

$d u_{1} = - 2 x d x$ , então,

$- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando

$u_{1}$ e

$d$

$u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Deixe

$u_{1} = - x^{2}$ . Encontre

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1

Diferencie

$- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 6.7.2.1.2

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- x^{2}$ em relação a

$x$ é

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$- (2 x)$

Etapa 6.7.2.1.4

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$- 2 x$

Etapa 6.7.2.2

Reescreva o problema usando

$u_{1}$ e

$d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Etapa 6.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Etapa 6.7.3.2

Combine

$\sqrt{- u_{1}}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Etapa 6.7.3.3

Combine

$e^{u_{1}}$ e

$\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.7.4

Como

$- 1$ é constante com relação a

$u_{1}$ , mova

$- 1$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.5.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.7.5.2

Multiplique

$\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ por

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 6.7.6

Como

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

$u_{1}$ , mova

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6.7.7

Integre por partes usando a fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

$u = e^{u_{1}}$ e

$d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.8.1

Combine

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.2

Combine

$e^{u_{1}}$ e

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.3

Mova

$2$ para a esquerda de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.4

Mova

$2$ para a esquerda de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.5

Combine

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.6

Combine

$e^{u_{1}}$ e

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.7

Mova

$2$ para a esquerda de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.8.8

Mova

$2$ para a esquerda de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.9

Como

$- 1$ é constante com relação a

$u_{1}$ , mova

$- 1$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.10.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.10.2

Multiplique

$\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ por

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Etapa 6.7.11

Como

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ é constante com relação a

$u_{1}$ , mova

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 6.7.12

A integral de

$e^{u_{1}}$ com relação a

$u_{1}$ é

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Etapa 6.7.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.13.1

Reescreva

$\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ como

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.13.2.1

Combine

$e^{u_{1}}$ e

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2.2

Combine

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e

$\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2.3

Mova

$2$ para a esquerda de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2.4

Mova

$2$ para a esquerda de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2.5

Combine

$\frac{2}{3}$ e

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Etapa 6.7.13.2.6

Combine

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ e

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Etapa 6.7.13.2.7

Some

$- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ e

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Etapa 6.7.13.2.8

Multiplique

$\frac{1}{2}$ por

$0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Etapa 6.7.13.2.9

Some

$0$ e

$C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em

$e^{- x^{2}} v = C$ por

$e^{- x^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em

$e^{- x^{2}} v = C$ por

$e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de

$e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida

$v$ por

$1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 7

Substitua

$y^{- 1}$ por

$v$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

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