Cálculo Exemplos

$3 y'' + y = 0$ ,

$y = \sin (k x)$

Etapa 1

Encontre

$y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Etapa 1.2

A derivada de

$y$ em relação a

$x$ é

$y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \sin (x)$ e

$g (x) = k x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de

$\sin (u)$ em relação a

$u$ é

$\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Como

$k$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$k x$ em relação a

$x$ é

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique

$k$ por

$1$ .

$\cos (k x) k$

Etapa 1.3.2.3.2

Reordene os fatores de

$\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = k \cos (k x)$

Etapa 2

Encontre

$y''$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Etapa 2.2

Como

$k$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$k \cos (k x)$ em relação a

$x$ é

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \cos (x)$ e

$g (x) = k x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.3.2

A derivada de

$\cos (u)$ em relação a

$u$ é

$- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.4

Como

$k$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$k x$ em relação a

$x$ é

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5

Eleve

$k$ à potência de

$1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.6

Eleve

$k$ à potência de

$1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.8

Some

$1$ e

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Etapa 2.11

Reordene os fatores de

$k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Etapa 3

Substitua na equação diferencial determinada.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Etapa 4

Substitua

$y$ por

$\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Etapa 5

Resolva

$k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique

$- 1$ por

$3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Etapa 5.2

Subtraia

$y$ dos dois lados da equação.

$- 3 k^{2} y = - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em

$- 3 k^{2} y = - y$ por

$- 3 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em

$- 3 k^{2} y = - y$ por

$- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de

$- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida

$k^{2}$ por

$1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 5.3.3.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.5

Simplifique

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.3

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ por

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ por

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.2

Eleve

$\sqrt{3}$ à potência de

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.3

Eleve

$\sqrt{3}$ à potência de

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.4.5

Some

$1$ e

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6

Reescreva

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.4.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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