Cálculo Exemplos

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

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Etapa 1.3.2.1

Como $r$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $r x$ em relação a $x$ é $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique $r$ por $1$ .

$e^{r x} r$

Etapa 1.3.2.3.2

Reordene os fatores em $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = r e^{r x}$

Etapa 2

Encontre $y''$ .

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Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Etapa 2.2

Como $r$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $r e^{r x}$ em relação a $x$ é $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = r x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Etapa 2.4

Como $r$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $r x$ em relação a $x$ é $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.6

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $e^{r x}$ por $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Etapa 3

Substitua na equação diferencial determinada.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Etapa 4

Substitua $y$ por $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Etapa 5

Resolva $r$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 r^{2} y = y$ por $4 y$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $4 r^{2} y = y$ por $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Etapa 5.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 5.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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