Cálculo Exemplos

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = k x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

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Etapa 1.3.2.1

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k x$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique $k$ por $1$ .

$\cos (k x) k$

Etapa 1.3.2.3.2

Reordene os fatores de $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = k \cos (k x)$

Etapa 2

Encontre $y''$ .

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Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Etapa 2.2

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k \cos (k x)$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = k x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Etapa 2.4

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k x$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.6

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Etapa 2.11

Reordene os fatores de $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Etapa 3

Substitua na equação diferencial determinada.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Etapa 4

Substitua $y$ por $\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Etapa 5

Resolva $k$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- 3 k^{2} y = - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 k^{2} y = - y$ por $- 3 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 k^{2} y = - y$ por $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $k^{2}$ por $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 5.3.3.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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