Cálculo Exemplos

y' = 2 x y

$y' = 2 x y$ ,

y = c e^{x^{2}}

$y = c e^{x^{2}}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$

Etapa 1

Verifique se solução determinada satisfaz a equação diferencial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre

y'

$y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Etapa 1.1.2

A derivada de

y

$y$ em relação a

x

$x$ é

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Etapa 1.1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como

c

$c$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

c e^{x^{2}}

$c e^{x^{2}}$ em relação a

x

$x$ é

c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

x^{2}

$x^{2}$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

x^{2}

$x^{2}$ .

c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

c e^{x^{2}} (2 x)

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Reordene os fatores de

c e^{x^{2}} (2 x)

$c e^{x^{2}} (2 x)$ .

2 e^{x^{2}} c x

$2 e^{x^{2}} c x$

Etapa 1.1.3.4.2

Reordene os fatores em

2 e^{x^{2}} c x

$2 e^{x^{2}} c x$ .

2 c x e^{x^{2}}

$2 c x e^{x^{2}}$

2 c x e^{x^{2}}

$2 c x e^{x^{2}}$

2 c x e^{x^{2}}

$2 c x e^{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

y' = 2 c x e^{x^{2}}

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

y' = 2 c x e^{x^{2}}

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Etapa 1.2

Substitua na equação diferencial determinada.

2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Etapa 1.3

Reordene os fatores em

2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Etapa 1.4

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

y = c e^{x^{2}}

$y = c e^{x^{2}}$ é uma solução para

y' = 2 x y

$y' = 2 x y$

y = c e^{x^{2}}

$y = c e^{x^{2}}$ é uma solução para

y' = 2 x y

$y' = 2 x y$

Etapa 2

Substitua a condição inicial.

1 = c e^{0^{2}}

$1 = c e^{0^{2}}$

Etapa 3

Resolva

c

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como

c e^{0^{2}} = 1

$c e^{0^{2}} = 1$ .

c e^{0^{2}} = 1

$c e^{0^{2}} = 1$

Etapa 3.2

Divida cada termo em

c e^{0^{2}} = 1

$c e^{0^{2}} = 1$ por

e^{0^{2}}

$e^{0^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em

c e^{0^{2}} = 1

$c e^{0^{2}} = 1$ por

e^{0^{2}}

$e^{0^{2}}$ .

\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de

$e^{0^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida

$c$ por

$1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Etapa 3.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a

$0$ é

$1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.3.2

Divida

$1$ por

$1$ .

$c = 1$

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