Cálculo Exemplos

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

Verifique se solução determinada satisfaz a equação diferencial.

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Etapa 1.1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Etapa 1.1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.3.1

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c e^{2 x}$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 1.1.3.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.4.1

Reordene os fatores de $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Etapa 1.1.3.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Etapa 1.1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Etapa 1.2

Substitua na equação diferencial determinada.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Etapa 1.3

Remova os parênteses.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Etapa 1.4

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = c e^{2 x}$ é uma solução para $y' = 2 y$

Etapa 2

Substitua a condição inicial.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Etapa 3

Resolva $c$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Etapa 3.2

Simplifique $c e^{2 \cdot 0}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$c e^{0} = 3$

Etapa 3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Etapa 3.2.3

Multiplique $c$ por $1$ .

$c = 3$

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