Cálculo Exemplos

\frac{d y}{d x} - x = x^{2}

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ ,

(- 2, 2)

$(- 2, 2)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some

x

$x$ aos dois lados da equação.

\frac{d y}{d x} = x^{2} + x

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

d y = (x^{2} + x) d x

$d y = (x^{2} + x) d x$

d y = (x^{2} + x) d x

$d y = (x^{2} + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

\int d y = \int x^{2} + x d x

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

y + C_{1} = \int x^{2} + x d x

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

x^{2}

$x^{2}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

x

$x$ com relação a

x

$x$ é

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como

K

$K$ .

y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de

K

$K$ , substituindo

- 2

$- 2$ por

x

$x$ e

2

$2$ por

y

$y$ em

y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Etapa 4

Resolva

K

$K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como

\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Combine

$\frac{1}{3}$ e

$- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.4

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Etapa 4.2.1.5

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.5.1

Fatore

$2$ de

$4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Etapa 4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Etapa 4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Etapa 4.2.2

Para escrever

$2$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.3

Combine

$2$ e

$\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.5.2

Some

$- 8$ e

$6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm

$K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$\frac{2}{3}$ aos dois lados da equação.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever

$2$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine

$2$ e

$\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Some

$6$ e

$2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Etapa 5

Substitua

$\frac{8}{3}$ por

$K$ em

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua

$\frac{8}{3}$ por

$K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

Insira SEU problema