Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $1 - y^{2}$ por $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 1.2.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.6

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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