Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)$ , $y (1) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ .

$0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)$

Etapa 5

Resolva $K$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ .

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$

Etapa 5.2

Para resolver $K$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}$

Etapa 5.3

Reescreva $\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K$

Etapa 5.4

Resolva $K$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva a equação como $1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$ .

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Etapa 5.4.2

Simplifique $1^{2} - 3 \cdot 1 + K$ .

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Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + K = e^{0}$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + K = e^{0}$

Etapa 5.4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 + K = 1$

Etapa 5.4.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.4.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$K = 1 + 2$

Etapa 5.4.4.2

Some $1$ e $2$ .

$K = 3$

Etapa 6

Substitua $3$ por $K$ em $y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Substitua $3$ por $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

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