Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Etapa 1

Defina $f (t, y)$ de forma que $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Etapa 2

Encontre $f (0, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $0$ por $t$ e $1$ por $y$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

Etapa 2.2

Avalie $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Etapa 3

Use a fórmula recursiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ para encontrar $y_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $0.05$ por $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$y_{1} = 1$

Etapa 4

Use a fórmula recursiva $t_{1} = t_{0} + h$ para encontrar $t_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Etapa 5

Encontre $f (0.05, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $0.05$ por $t$ e $1$ por $y$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Etapa 5.2

Avalie $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Etapa 6

Use a fórmula recursiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ para encontrar $y_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $0.05$ por $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Etapa 6.2.2

Some $1$ e $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Etapa 7

Use a fórmula recursiva $t_{2} = t_{1} + h$ para encontrar $t_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Etapa 7.2

Some $0.05$ e $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Etapa 8

Continue da mesma maneira até que os valores desejados sejam aproximados.

Etapa 9

Liste as aproximações em uma tabela.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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