Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em

$x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva

${(x + h)}^{2}$ como

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2

Expanda

$(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1.1

Multiplique

$x$ por

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.1.2

Multiplique

$h$ por

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Some

$x h$ e

$h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.2.1

Reordene

$x$ e

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.2.2

Some

$h x$ e

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova

$2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Etapa 2.2.2

Mova

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Etapa 2.2.3

Reordene

$2 h x$ e

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia

$x^{2}$ de

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Etapa 4.1.4

Some

$h^{2}$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia

$2 x$ de

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Etapa 4.1.6

Some

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Etapa 4.1.7

Fatore

$h$ de

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Fatore

$h$ de

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore

$h$ de

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore

$h$ de

$2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Fatore

$h$ de

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Fatore

$h$ de

$h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de

$h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida

$h + 2 x + 2$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Etapa 4.2.2

Reordene

$h$ e

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 5.2

Avalie o limite de

$2 x$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 5.3

Avalie o limite de

$2$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Etapa 6

Avalie o limite de

$h$ substituindo

$0$ por

$h$ .

$2 x + 0 + 2$

Etapa 7

Some

$2 x$ e

$0$ .

$2 x + 2$

Etapa 8

Insira SEU problema