Cálculo Exemplos
f(x)=x2-4
Etapa 1
Considere a definição de limite da derivada.
f′(x)=limh→0f(x+h)-f(x)h
Etapa 2
Etapa 2.1
Avalie a função em x=x+h.
Etapa 2.1.1
Substitua a variável x por x+h na expressão.
f(x+h)=(x+h)2-4
Etapa 2.1.2
Simplifique o resultado.
Etapa 2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.1.2.1.1
Reescreva (x+h)2 como (x+h)(x+h).
f(x+h)=(x+h)(x+h)-4
Etapa 2.1.2.1.2
Expanda (x+h)(x+h) usando o método FOIL.
Etapa 2.1.2.1.2.1
Aplique a propriedade distributiva.
f(x+h)=x(x+h)+h(x+h)-4
Etapa 2.1.2.1.2.2
Aplique a propriedade distributiva.
f(x+h)=x⋅x+xh+h(x+h)-4
Etapa 2.1.2.1.2.3
Aplique a propriedade distributiva.
f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h-4
f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h-4
Etapa 2.1.2.1.3
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 2.1.2.1.3.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.1.2.1.3.1.1
Multiplique x por x.
f(x+h)=x2+xh+hx+h⋅h-4
Etapa 2.1.2.1.3.1.2
Multiplique h por h.
f(x+h)=x2+xh+hx+h2-4
f(x+h)=x2+xh+hx+h2-4
Etapa 2.1.2.1.3.2
Some xh e hx.
Etapa 2.1.2.1.3.2.1
Reordene x e h.
f(x+h)=x2+hx+hx+h2-4
Etapa 2.1.2.1.3.2.2
Some hx e hx.
f(x+h)=x2+2hx+h2-4
f(x+h)=x2+2hx+h2-4
f(x+h)=x2+2hx+h2-4
f(x+h)=x2+2hx+h2-4
Etapa 2.1.2.2
A resposta final é x2+2hx+h2-4.
x2+2hx+h2-4
x2+2hx+h2-4
x2+2hx+h2-4
Etapa 2.2
Reordene.
Etapa 2.2.1
Mova x2.
2hx+h2+x2-4
Etapa 2.2.2
Reordene 2hx e h2.
h2+2hx+x2-4
h2+2hx+x2-4
Etapa 2.3
Encontre os componentes da definição.
f(x+h)=h2+2hx+x2-4
f(x)=x2-4
f(x+h)=h2+2hx+x2-4
f(x)=x2-4
Etapa 3
Substitua os componentes.
f′(x)=limh→0h2+2hx+x2-4-(x2-4)h
Etapa 4
Etapa 4.1
Simplifique o numerador.
Etapa 4.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
f′(x)=limh→0h2+2hx+x2-4-x2+4h
Etapa 4.1.2
Multiplique -1 por -4.
f′(x)=limh→0h2+2hx+x2-4-x2+4h
Etapa 4.1.3
Subtraia x2 de x2.
f′(x)=limh→0h2+2hx+0-4+4h
Etapa 4.1.4
Some h2 e 0.
f′(x)=limh→0h2+2hx-4+4h
Etapa 4.1.5
Some -4 e 4.
f′(x)=limh→0h2+2hx+0h
Etapa 4.1.6
Some h2+2hx e 0.
f′(x)=limh→0h2+2hxh
Etapa 4.1.7
Fatore h de h2+2hx.
Etapa 4.1.7.1
Fatore h de h2.
f′(x)=limh→0h⋅h+2hxh
Etapa 4.1.7.2
Fatore h de 2hx.
f′(x)=limh→0h(h)+h(2x)h
Etapa 4.1.7.3
Fatore h de h(h)+h(2x).
f′(x)=limh→0h(h+2x)h
f′(x)=limh→0h(h+2x)h
f′(x)=limh→0h(h+2x)h
Etapa 4.2
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Etapa 4.2.1
Cancele o fator comum de h.
Etapa 4.2.1.1
Cancele o fator comum.
f′(x)=limh→0h(h+2x)h
Etapa 4.2.1.2
Divida h+2x por 1.
f′(x)=limh→0h+2x
f′(x)=limh→0h+2x
Etapa 4.2.2
Reordene h e 2x.
f′(x)=limh→02x+h
f′(x)=limh→02x+h
f′(x)=limh→02x+h
Etapa 5
Etapa 5.1
Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que h se aproxima de 0.
limh→02x+limh→0h
Etapa 5.2
Avalie o limite de 2x, que é constante à medida que h se aproxima de 0.
2x+limh→0h
2x+limh→0h
Etapa 6
Avalie o limite de h substituindo 0 por h.
2x+0
Etapa 7
Some 2x e 0.
2x
Etapa 8
