Cálculo Exemplos

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

Etapa 1

Mantenha

y = f (x)

$y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Etapa 2

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.1

Expanda

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ movendo

ln (x)

$\ln (x)$ para fora do logaritmo.

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Etapa 2.2

Eleve

ln (x)

$\ln (x)$ à potência de

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Etapa 2.3

Eleve

ln (x)

$\ln (x)$ à potência de

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que

y

$y$ é uma função de

x

$x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo

ln (y)

$\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

\frac{y'}{y} = {ln}^{2} (x)

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ e

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3

A derivada de

ln (x)

$\ln (x)$ em relação a

x

$x$ é

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{1}{x}

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Etapa 3.2.4

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.1

Combine

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ e

2

$2$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} ln (x)

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Etapa 3.2.4.2

Combine

\frac{2}{x}

$\frac{2}{x}$ e

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.5

Simplifique

2 ln (x)

$2 \ln (x)$ movendo

2

$2$ para dentro do logaritmo.

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Etapa 4

Isole

y'

$y'$ e substitua a função original por

y

$y$ no lado direito.

y' = \frac{ln (x^{2})}{x} x^{ln (x)}

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Combine

\frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ e

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

y' = \frac{ln (x^{2}) x^{ln (x)}}{x}

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ e

x

$x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore

x

$x$ de

ln (x^{2}) x^{ln (x)}

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve

x

$x$ à potência de

1

$1$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x^{1}}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Etapa 5.2.2.2

Fatore

x

$x$ de

x^{1}

$x^{1}$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x \cdot 1}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ por

$1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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