Cálculo Exemplos

$y = x^{\ln (x)}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Etapa 2

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln (x^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Etapa 2.2

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Etapa 2.3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Etapa 3.2.4

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Etapa 3.2.4.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.5

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ e $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x^{\ln (x)}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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