Cálculo Exemplos

y = x^{\sqrt{x}}

$y = x^{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Mantenha

y = f (x)

$y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{\sqrt{x}})

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Etapa 2

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ como

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

ln (y) = ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Expanda

ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ movendo

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ para fora do logaritmo.

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que

y

$y$ é uma função de

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo

ln (y)

$\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.3

A derivada de

$\ln (x)$ em relação a

$x$ é

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.4

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.1

Combine

$x^{\frac{1}{2}}$ e

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.4.2

Mova

$x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique

$x$ por

$x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Multiplique

$x$ por

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.1

Eleve

$x$ à potência de

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5.2

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.5.4

Subtraia

$1$ de

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.2.7

Para escrever

$- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.2.8

Combine

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.10.1

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.2.10.2

Subtraia

$2$ de

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.12

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.2.13

Combine

$\ln (x)$ e

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.2.14

Mova

$x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Isole

$y'$ e substitua a função original por

$y$ no lado direito.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Etapa 5.2

Combine

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Etapa 5.3

Combine

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Multiplique por

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.2.4

Divida

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ por

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.3

Fatore

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Fatore

$x^{\frac{1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 5.4.4.2

Cancele o fator comum.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 5.4.4.3

Reescreva a expressão.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Para escrever

$\sqrt{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.4.5.2

Combine

$\sqrt{x}$ e

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.4.5.4

Mova

$2$ para a esquerda de

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.5

Para escrever

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.6

Combine

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ e

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.8.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.2

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.3

Mova

$2$ para a esquerda de

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1

Para escrever

$x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.4.2

Combine

$x^{\frac{1}{2}}$ e

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.4.4

Mova

$2$ para a esquerda de

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Etapa 5.8.5

Fatore

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

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Etapa 5.8.5.1

Reordene

$\ln (x)$ e

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Etapa 5.8.5.2

Fatore

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Etapa 5.8.5.3

Fatore

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Etapa 5.8.5.4

Fatore

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

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