Cálculo Exemplos

y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}

$y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})$

Etapa 2

A derivada de

y

$y$ em relação a

x

$x$ é

$y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que

$f (x) = x^{2}$ e

$g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = x^{3}$ e

$g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u_{1}$ como

$y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é

$n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u_{1}$ por

$y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.5

Mova

$3$ para a esquerda de

$x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.2.6

Mova

$2$ para a esquerda de

$y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que

$f (x) = x^{3}$ e

$g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = x^{2}$ e

$g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u_{2}$ como

$y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é

$n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u_{2}$ por

$y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Reescreva

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.5

Mova

$2$ para a esquerda de

$x^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.6

Mova

$3$ para a esquerda de

$y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5

Resolva

$y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como

$y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y'$

Etapa 5.2

Subtraia

$y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm

$y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia

$2 y^{3} x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = - 2 y^{3} x$

Etapa 5.3.2

Subtraia

$3 x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore

$y'$ de

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore

$y'$ de

$3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore

$y'$ de

$2 x^{3} y y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore

$y'$ de

$- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore

$y'$ de

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore

$y'$ de

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ por

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ por

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore

$y^{2} x$ de

$- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1

Fatore

$y^{2} x$ de

$- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.2.2

Fatore

$y^{2} x$ de

$- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.2.3

Fatore

$y^{2} x$ de

$y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore

$- 1$ de

$- 2 y$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore

$- 1$ de

$- 3 x$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - (3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.5

Fatore

$- 1$ de

$- (2 y) - (3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.6.1

Reescreva

$- (2 y + 3 x)$ como

$- 1 (2 y + 3 x)$ .

$y' = \frac{y^{2} x (- 1 (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 5.5.3.6.3

Reordene os fatores em

$- \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$ .

$y' = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Etapa 6

Substitua

$y'$ por

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

Insira SEU problema