Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 3 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' + 3 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 x y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 3 x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 y'$ de $- 3 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- x)$ .

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - x)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2} - x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - x}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - x}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

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