Cálculo Exemplos

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Etapa 2.2

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.6

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.9.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.10

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

Etapa 2.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

Etapa 2.12.3

Reordene os termos.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$x' + 1 + 0$

Etapa 3.5

Some $x' + 1$ e $0$ .

$x' + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $x'$ dos dois lados da equação.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $2 x x' - 2 y x' - x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $- 2 y x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $- x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.4

Fatore $x'$ de $x' (2 x) + x' (- 2 y)$ .

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.5

Fatore $x'$ de $x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ .

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ por $2 x - 2 y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ por $2 x - 2 y - 1$ .

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 x - 2 y - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

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