Cálculo Exemplos

$y = | x^{2} - x |$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Etapa 3.2.5.2

Reordene os fatores de $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Etapa 6.2

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 6.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Defina $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - x = 0$

Etapa 6.3.2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Etapa 6.3.2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.2.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.2.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.2.2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.2.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.3.2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 6.4

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Etapa 6.5

Exclua as soluções que não tornam $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ verdadeira.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Simplifique $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Etapa 7.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Etapa 7.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Etapa 7.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Etapa 7.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Etapa 7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Etapa 7.7

$- \frac{1}{4}$ é aproximadamente $- 0.25$ , que é negativo, então negative $- \frac{1}{4}$ e remova o valor absoluto

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 8

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Etapa 9

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