Cálculo Exemplos

\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que

$f (x) = x^{3} - 8 x$ e

$g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x^{3} - 8 x$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 3.1

Como

$- 8$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 8 x$ em relação a

$x$ é

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique

$- 8$ por

$1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x - 1$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 1$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Some

$1$ e

$0$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Expanda

$(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique

$x$ por

$x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Mova

$x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Multiplique

$x^{2}$ por

$x$ .

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Etapa 5.3.1.2.2.2.1

Eleve

$x$ à potência de

$1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Some

$2$ e

$1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Mova

$- 8$ para a esquerda de

$x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.4

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.5

Multiplique

$- 1$ por

$- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique

$8$ por

$1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Combine os termos opostos em

$3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Some

$- 8 x$ e

$8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Some

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ e

$0$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Subtraia

$x^{3}$ de

$3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

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