Cálculo Exemplos

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

Etapa 1

Encontre o ponto de equilíbrio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a quantidade de equilíbrio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre o ponto de equilíbrio igualando a função de oferta à função de demanda.

$300 - 5 q = q^{2}$

Etapa 1.1.2

Resolva $300 - 5 q = q^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $q^{2}$ dos dois lados da equação.

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $300 - 5 q - q^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1.1

Mova $300$ .

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.1.2

Reordene $- 5 q$ e $- q^{2}$ .

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- q^{2}$ .

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 5 q$ .

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.4

Reescreva $300$ como $- 1 (- 300)$ .

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (q^{2}) - (5 q)$ .

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Etapa 1.1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ .

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Etapa 1.1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Fatore $q^{2} + 5 q - 300$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 300$ e cuja soma é $5$ .

$- 15, 20$

Etapa 1.1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Etapa 1.1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

Etapa 1.1.2.4

Defina $q - 15$ como igual a $0$ e resolva para $q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Defina $q - 15$ como igual a $0$ .

$q - 15 = 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $15$ aos dois lados da equação.

$q = 15$

Etapa 1.1.2.5

Defina $q + 20$ como igual a $0$ e resolva para $q$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Defina $q + 20$ como igual a $0$ .

$q + 20 = 0$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$q = - 20$

Etapa 1.1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (q - 15) (q + 20) = 0$ verdadeiro.

$q = 15, - 20$

Etapa 1.1.3

Ignore a solução negativa.

$q = 15$

Etapa 1.2

Encontre o preço de equilíbrio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Encontre o preço de equilíbrio substituindo a quantidade de equilíbrio $15$ por $q$ em $d (q) = 300 - 5 q$ .

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Etapa 1.2.2

Simplifique $d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique $- 5$ por $15$ .

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $75$ de $300$ .

$d \cdot 15 = 225$

Etapa 1.3

Escreva o ponto de equilíbrio.

$(15, 225)$

Etapa 2

Configure o excedente do consumidor $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ onde $q_{eq}$ é a quantidade de equilíbrio e $p_{eq}$ é o preço de equilíbrio.

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Etapa 3

Avalie a integral e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $- 15$ por $225$ .

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Etapa 3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Etapa 3.3

Aplique a regra da constante.

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Etapa 3.4

Como $- 5$ é constante com relação a $q$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $q$ com relação a $q$ é $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Etapa 3.6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Avalie $300 q$ em $15$ e em $0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Etapa 3.6.2.2

Avalie $\frac{q^{2}}{2}$ em $15$ e em $0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1

Multiplique $300$ por $15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.2

Multiplique $- 300$ por $0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.3

Some $4500$ e $0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.4

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.6.1

Fatore $2$ de $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.8

Some $\frac{225}{2}$ e $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Etapa 3.6.2.3.9

Combine $- 5$ e $\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.10

Multiplique $- 5$ por $225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.12

Para escrever $4500$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.13

Combine $4500$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.15.1

Multiplique $4500$ por $2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.15.2

Subtraia $1125$ de $9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Etapa 3.6.2.3.16

Para escrever $- 3375$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.6.2.3.17

Combine $- 3375$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.6.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.6.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.19.1

Multiplique $- 3375$ por $2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Etapa 3.6.2.3.19.2

Subtraia $6750$ de $7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Etapa 3.7

Divida $1125$ por $2$ .

$562.5$

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