Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ como $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ .

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

Etapa 2.1.2

Expanda $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.3.1

Mova $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.4.1

Mova $x^{2}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

Etapa 2.1.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

Etapa 2.1.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.6.1

Mova $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

Etapa 2.1.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

Etapa 2.1.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Etapa 2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Etapa 2.1.5.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Etapa 2.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Etapa 10

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $3$ e em $0$ .

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $3$ e em $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Etapa 12.2.3

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.3

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.3.1

Fatore $5$ de $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.3.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.5

Some $\frac{243}{5}$ e $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.8

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.8.1

Fatore $4$ de $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.10

Some $\frac{81}{4}$ e $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.11

Combine $4$ e $\frac{81}{4}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.12

Multiplique $4$ por $81$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.13

Cancele o fator comum de $324$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.13.1

Fatore $4$ de $324$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.13.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.13.2.4

Divida $81$ por $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.14

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.15

Combine $81$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.17.1

Multiplique $81$ por $5$ .

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.17.2

Some $- 243$ e $405$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.18

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.19

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.19.1

Fatore $3$ de $27$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.19.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.19.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.19.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.19.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 12.2.4.20

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

Etapa 12.2.4.21

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.21.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 12.2.4.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 12.2.4.21.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 12.2.4.21.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

Etapa 12.2.4.21.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

Etapa 12.2.4.22

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

Etapa 12.2.4.23

Some $9$ e $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

Etapa 12.2.4.24

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

Etapa 12.2.4.25

Para escrever $- 27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 12.2.4.26

Combine $- 27$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

Etapa 12.2.4.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

Etapa 12.2.4.28

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.28.1

Multiplique $- 27$ por $5$ .

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

Etapa 12.2.4.28.2

Subtraia $135$ de $162$ .

$V = π (\frac{27}{5})$

Etapa 12.2.4.29

Combine $π$ e $\frac{27}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

Etapa 12.2.4.30

Mova $27$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{27 π}{5}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{27 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 16.96460032 \dots$

Etapa 14

Insira SEU problema