Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(5, 7)$

Etapa 1

Escreva

$y = 3 x^{3} + x + 3$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em

$[5, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função

$f$ sobre o intervalo

$[a, b]$ é definido como

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 7

Como

$3$ é constante com relação a

$x$ , mova

$3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x^{3}$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 9

Combine

$\frac{1}{4}$ e

$x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine

$\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ e

$3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Avalie

$\frac{x^{4}}{4}$ em

$7$ e em

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12.2.2

Avalie

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ em

$7$ e em

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Eleve

$7$ à potência de

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.2

Eleve

$5$ à potência de

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.4

Subtraia

$625$ de

$2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5

Cancele o fator comum de

$1776$ e

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.5.1

Fatore

$4$ de

$1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.5.2.1

Fatore

$4$ de

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.4

Divida

$444$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.6

Multiplique

$3$ por

$444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.7

Eleve

$7$ à potência de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.8

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.9

Multiplique

$3$ por

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.10

Para escrever

$21$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.11

Combine

$21$ e

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.13.1

Multiplique

$21$ por

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.13.2

Some

$49$ e

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.14

Eleve

$5$ à potência de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.15

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.16

Multiplique

$3$ por

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Etapa 12.2.3.17

Para escrever

$15$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 12.2.3.18

Combine

$15$ e

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Etapa 12.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Etapa 12.2.3.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.20.1

Multiplique

$15$ por

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Etapa 12.2.3.20.2

Some

$25$ e

$30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Etapa 12.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Etapa 12.2.3.22

Subtraia

$55$ de

$91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Etapa 12.2.3.23

Cancele o fator comum de

$36$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.23.1

Fatore

$2$ de

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Etapa 12.2.3.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.23.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Etapa 12.2.3.23.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Etapa 12.2.3.23.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Etapa 12.2.3.23.2.4

Divida

$18$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Etapa 12.2.3.24

Some

$1332$ e

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Etapa 13

Subtraia

$5$ de

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Etapa 14

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Fatore

$2$ de

$1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 675$

Etapa 15

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