Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ,

$[0, 6]$

Etapa 1

Encontre a derivada de

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x^{2} + 2 x - 3$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 x$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como

$- 3$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 3$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some

$2 x + 2$ e

$0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em

$[0, 6]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função

$f'$ sobre o intervalo

$[a, b]$ é definido como

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 7

Como

$2$ é constante com relação a

$x$ , mova

$2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 9

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie

$\frac{x^{2}}{2}$ em

$6$ e em

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Etapa 11.2

Avalie

$2 x$ em

$6$ e em

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Eleve

$6$ à potência de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de

$36$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Fatore

$2$ de

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.4

Divida

$18$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4

Cancele o fator comum de

$0$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.1

Fatore

$2$ de

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.4

Divida

$0$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.5

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.6

Some

$18$ e

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.7

Multiplique

$2$ por

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8

Multiplique

$2$ por

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.9

Multiplique

$- 2$ por

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Etapa 11.3.10

Some

$12$ e

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Etapa 11.3.11

Some

$36$ e

$12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Etapa 12.2

Some

$6$ e

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Etapa 13

Cancele o fator comum de

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Fatore

$6$ de

$48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 8$

Etapa 14

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