Cálculo Exemplos

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ ,

(- 3, 4)

$(- 3, 4)$

Etapa 1

Encontre a derivada de

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{2} + 3 x + 34

$x^{2} + 3 x + 34$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2

Avalie

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como

3

$3$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

3 x

$3 x$ em relação a

x

$x$ é

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]$

2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como

34

$34$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

34

$34$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

2 x + 3 + 0

$2 x + 3 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some

2 x + 3

$2 x + 3$ e

0

$0$ .

$f' (x) = 2 x + 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$2 x + 3$ .

$2 x + 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em

$[- 3, 4]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função

$f'$ sobre o intervalo

$[a, b]$ é definido como

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x + 3 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 7

Como

$2$ é constante com relação a

$x$ , mova

$2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 \int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 9

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie

$\frac{x^{2}}{2}$ em

$4$ e em

$- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Etapa 11.2

Avalie

$3 x$ em

$4$ e em

$- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de

$16$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Fatore

$2$ de

$16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.4

Divida

$8$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.3

Eleve

$- 3$ à potência de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.4

Para escrever

$8$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.5

Combine

$8$ e

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.7.1

Multiplique

$8$ por

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.7.2

Subtraia

$9$ de

$16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{7}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.8

Combine

$2$ e

$\frac{7}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.9

Multiplique

$2$ por

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{14}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10

Cancele o fator comum de

$14$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.10.1

Fatore

$2$ de

$14$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.10.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{7}{1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.4

Divida

$7$ por

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.11

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.12

Multiplique

$- 3$ por

$- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 + 9)$

Etapa 11.3.13

Some

$12$ e

$9$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 21)$

Etapa 11.3.14

Some

$7$ e

$21$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (28)$

Etapa 12

Some

$4$ e

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 28$

Etapa 13

Cancele o fator comum de

$7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Fatore

$7$ de

$28$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (4))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 4)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 4$

Etapa 14

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