Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 6]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $6$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Etapa 11.2

Avalie $2 x$ em $6$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.6

Some $18$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.7

Multiplique $2$ por $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8

Multiplique $2$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.9

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Etapa 11.3.10

Some $12$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Etapa 11.3.11

Some $36$ e $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Etapa 12.2

Some $6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 13.1

Fatore $6$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 8$

Etapa 14

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