Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x - 6$ , $(- 1, 4)$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = 6 x - 6$ é contínua.

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Etapa 1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 6 x - 6$ é diferenciável.

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Etapa 2.1

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 2.1.1.3.2

Some $6$ e $0$ .

$f' (x) = 6$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6$ .

$6$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[- 1, 4]$ .

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Etapa 2.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[- 1, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[- 1, 4]$ , porque a derivada é contínua em $[- 1, 4]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[- 1, 4]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[- 1, 4]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = 6 x - 6$ .

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$\sqrt{37} x]_{- 1}^{4}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\sqrt{37} x$ em $4$ e em $- 1$ .

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot - 1$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{37}$ .

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot - 1$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 \sqrt{37} + 1 \sqrt{37}$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\sqrt{37}$ por $1$ .

$4 \sqrt{37} + \sqrt{37}$

Etapa 6.2.2.4

Some $4 \sqrt{37}$ e $\sqrt{37}$ .

$5 \sqrt{37}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$5 \sqrt{37}$

Forma decimal:

$30.41381265 \dots$

Etapa 8

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