Cálculo Exemplos

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ ,

(- 2, 4)

$(- 2, 4)$

Etapa 1

Verifique se

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em

$[- 2, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se

$f (x) = 4 x - 2$ é diferenciável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$4 x - 2$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 x$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como

$- 2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 2$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.1.1.3.2

Some

$4$ e

$0$ .

$f' (x) = 4$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$4$ .

$4$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em

$[- 2, 4]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em

$[- 2, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em

$[- 2, 4]$ , porque a derivada é contínua em

$[- 2, 4]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado

$[- 2, 4]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado

$[- 2, 4]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de

$f (x) = 4 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$4 x - 2$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 x$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.2.3

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como

$- 2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 2$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$4 + 0$

Etapa 4.3.2

Some

$4$ e

$0$ .

$4$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{4} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$\sqrt{17} x]_{- 2}^{4}$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie

$\sqrt{17} x$ em

$4$ e em

$- 2$ .

$(\sqrt{17} \cdot 4) - \sqrt{17} \cdot - 2$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Mova

$4$ para a esquerda de

$\sqrt{17}$ .

$4 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot - 2$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique

$- 2$ por

$- 1$ .

$4 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17}$

Etapa 6.2.2.3

Some

$4 \sqrt{17}$ e

$2 \sqrt{17}$ .

$6 \sqrt{17}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 \sqrt{17}$

Forma decimal:

$24.73863375 \dots$

Etapa 8

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