Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + x = x + 2$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + x = x + 2$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - x = 2$

Etapa 1.2.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + x - x$ .

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Etapa 1.2.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Etapa 1.2.1.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 1.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 1.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Etapa 1.3.2

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ em $y = (\sqrt{2}) + 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{2} + 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Etapa 1.3.2.3

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{2} + 2$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Etapa 1.4.2

Substitua $- \sqrt{2}$ por $x$ em $y = (- \sqrt{2}) + 2$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Etapa 1.4.2.3

Remova os parênteses.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em $x + 2 - x^{2} - x$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $2 - x^{2}$ e $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.8.2.1

Avalie $2 x$ em $\sqrt{2}$ e em $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $\sqrt{2}$ e em $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.2

Some $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.6

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.12

Multiplique $\frac{\sqrt{8}}{3}$ por $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Etapa 3.8.2.3.14

Some $\sqrt{8}$ e $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Etapa 3.8.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.3.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.8.3.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Etapa 3.8.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Etapa 3.8.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Etapa 3.8.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 3.8.3.4

Para escrever $4 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 3.8.3.5

Combine $4 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 3.8.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 3.8.3.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 3.8.3.8

Subtraia $4 \sqrt{2}$ de $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$3.77123616 \dots$

Etapa 5

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