Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 5 x + 6$ ,

$y = x - 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Etapa 1.2

Resolva

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm

$x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia

$x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia

$x$ de

$- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Etapa 1.2.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Some

$6$ e

$2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore

$x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$8$ e cuja soma é

$- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Etapa 1.2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Etapa 1.2.6

Defina

$x - 4$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina

$x - 4$ como igual a

$0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some

$4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.7

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam

$(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 1.3

Avalie

$y$ quando

$x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

$4$ por

$x$ .

$y = (4) - 2$

Etapa 1.3.2

Substitua

$4$ por

$x$ em

$y = (4) - 2$ e resolva

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 - 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (4) - 2$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia

$2$ de

$4$ .

$y = 2$

Etapa 1.4

Avalie

$y$ quando

$x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua

$2$ por

$x$ .

$y = (2) - 2$

Etapa 1.4.2

Substitua

$2$ por

$x$ em

$y = (2) - 2$ e resolva

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 - 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (2) - 2$

Etapa 1.4.2.3

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$y = 0$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre

$2$ e

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique

$- 5$ por

$- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Some

$x$ e

$5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Etapa 3.3.2

Subtraia

$6$ de

$- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.5

Como

$6$ é constante com relação a

$x$ , mova

$6$ para fora da integral.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.7

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.8

Como

$- 1$ é constante com relação a

$x$ , mova

$- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.10

Combine

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Avalie

$\frac{x^{2}}{2}$ em

$4$ e em

$2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12.2

Avalie

$\frac{x^{3}}{3}$ em

$4$ e em

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Etapa 3.12.3

Avalie

$- 8 x$ em

$4$ e em

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2

Cancele o fator comum de

$16$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.2.1

Fatore

$2$ de

$16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.2.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.2.2.4

Divida

$8$ por

$1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.3

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4

Cancele o fator comum de

$4$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.4.1

Fatore

$2$ de

$4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.4.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.4.2.4

Divida

$2$ por

$1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.5

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.6

Subtraia

$2$ de

$8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.7

Multiplique

$6$ por

$6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.8

Eleve

$4$ à potência de

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.9

Eleve

$2$ à potência de

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.11

Subtraia

$8$ de

$64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.12

Para escrever

$36$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.13

Combine

$36$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.15.1

Multiplique

$36$ por

$3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.15.2

Subtraia

$56$ de

$108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.16

Multiplique

$- 8$ por

$4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Etapa 3.12.4.17

Multiplique

$8$ por

$2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Etapa 3.12.4.18

Some

$- 32$ e

$16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Etapa 3.12.4.19

Para escrever

$- 16$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.12.4.20

Combine

$- 16$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.22.1

Multiplique

$- 16$ por

$3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Etapa 3.12.4.22.2

Subtraia

$48$ de

$52$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 4

Insira SEU problema