Cálculo Exemplos

$y = 3 x - x^{2}$ ,

$y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$3 x - x^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva

$3 x - x^{2} = x^{2}$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm

$x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia

$x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia

$x^{2}$ de

$- x^{2}$ .

$3 x - 2 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Deixe

$u = x$ . Substitua

$u$ em todas as ocorrências de

$x$ .

$3 u - 2 u^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore

$u$ de

$3 u - 2 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore

$u$ de

$3 u$ .

$u \cdot 3 - 2 u^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore

$u$ de

$- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 2 u) = 0$

Etapa 1.2.2.2.3

Fatore

$u$ de

$u \cdot 3 + u (- 2 u)$ .

$u (3 - 2 u) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$x$ .

$x (3 - 2 x) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x = 0$

$3 - 2 x = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina

$x$ como igual a

$0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina

$3 - 2 x$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina

$3 - 2 x$ como igual a

$0$ .

$3 - 2 x = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva

$3 - 2 x = 0$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia

$3$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 3$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em

$- 2 x = - 3$ por

$- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em

$- 2 x = - 3$ por

$- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

$- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam

$x (3 - 2 x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Etapa 1.3

Avalie

$y$ quando

$x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

$0$ por

$x$ .

$y = {(0)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua

$0$ por

$x$ em

$y = {(0)}^{2}$ e resolva

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie

$y$ quando

$x = \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua

$\frac{3}{2}$ por

$x$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique

${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$y = \frac{9}{4}$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

Etapa 2

Reordene

$3 x$ e

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre

$0$ e

$\frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

Etapa 4.2

Subtraia

$x^{2}$ de

$- x^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Etapa 4.4

Como

$- 2$ é constante com relação a

$x$ , mova

$- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Etapa 4.6

Combine

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Etapa 4.7

Como

$3$ é constante com relação a

$x$ , mova

$3$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

$x$ com relação a

$x$ é

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 4.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 4.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Avalie

$\frac{x^{3}}{3}$ em

$\frac{3}{2}$ e em

$0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 4.9.2.2

Avalie

$\frac{x^{2}}{2}$ em

$\frac{3}{2}$ e em

$0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2

Cancele o fator comum de

$0$ e

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.2.1

Fatore

$3$ de

$0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.2.2.1

Fatore

$3$ de

$3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.2.2.4

Divida

$0$ por

$1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.3

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.4

Some

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ e

$0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.9.2.3.5

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 4.9.2.3.6

Cancele o fator comum de

$0$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.6.1

Fatore

$2$ de

$0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.9.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.3.6.2.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.9.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.9.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 4.9.2.3.6.2.4

Divida

$0$ por

$1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Etapa 4.9.2.3.7

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Etapa 4.9.2.3.8

Some

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ e

$0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.1.2

Eleve

$3$ à potência de

$3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.1.3

Eleve

$2$ à potência de

$3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.3

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.3.1

Fatore

$3$ de

$27$ .

$- 2 (\frac{3 (9)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.4.1

Fatore

$2$ de

$- 2$ .

$2 (- 1) \frac{9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.4.2

Fatore

$2$ de

$8$ .

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.5.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{3}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.5.2

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.5.3

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

Etapa 4.9.3.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.9.3.1.7

Multiplique

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.7.1

Multiplique

$\frac{9}{4}$ por

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.9.3.1.7.2

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

Etapa 4.9.3.1.8

Multiplique

$3 (\frac{9}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.8.1

Combine

$3$ e

$\frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

Etapa 4.9.3.1.8.2

Multiplique

$3$ por

$9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

Etapa 4.9.3.2

Para escrever

$- \frac{9}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

Etapa 4.9.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.3.1

Multiplique

$\frac{9}{4}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

Etapa 4.9.3.3.2

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

Etapa 4.9.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

Etapa 4.9.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.5.1

Multiplique

$- 9$ por

$2$ .

$\frac{- 18 + 27}{8}$

Etapa 4.9.3.5.2

Some

$- 18$ e

$27$ .

$\frac{9}{8}$

Etapa 5

Insira SEU problema