Cálculo Exemplos

y = x^{2} + x

$y = x^{2} + x$ ,

y = x + 9

$y = x + 9$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

x^{2} + x = x + 9

$x^{2} + x = x + 9$

Etapa 1.2

Resolva

x^{2} + x = x + 9

$x^{2} + x = x + 9$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm

x

$x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia

x

$x$ dos dois lados da equação.

x^{2} + x - x = 9

$x^{2} + x - x = 9$

Etapa 1.2.1.2

Combine os termos opostos em

x^{2} + x - x

$x^{2} + x - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Subtraia

x

$x$ de

x

$x$ .

x^{2} + 0 = 9

$x^{2} + 0 = 9$

Etapa 1.2.1.2.2

Some

x^{2}

$x^{2}$ e

0

$0$ .

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{9}

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3

Simplifique

\pm \sqrt{9}

$\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

x = \pm \sqrt{3^{2}}

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

x = \pm 3

$x = \pm 3$

x = \pm 3

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de

\pm

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

x = 3

$x = 3$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de

\pm

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

x = - 3

$x = - 3$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

Etapa 1.3

Avalie

y

$y$ quando

x = 3

$x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

3

$3$ por

x

$x$ .

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$

Etapa 1.3.2

Substitua

3

$3$ por

x

$x$ em

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$ e resolva

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

y = 3 + 9

$y = 3 + 9$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

y = (3) + 9

$y = (3) + 9$

Etapa 1.3.2.3

Some

3

$3$ e

9

$9$ .

y = 12

$y = 12$

y = 12

$y = 12$

y = 12

$y = 12$

Etapa 1.4

Avalie

y

$y$ quando

x = - 3

$x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua

- 3

$- 3$ por

x

$x$ .

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$

Etapa 1.4.2

Substitua

- 3

$- 3$ por

x

$x$ em

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$ e resolva

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

y = - 3 + 9

$y = - 3 + 9$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

y = (- 3) + 9

$y = (- 3) + 9$

Etapa 1.4.2.3

Some

- 3

$- 3$ e

9

$9$ .

y = 6

$y = 6$

y = 6

$y = 6$

y = 6

$y = 6$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

(3, 12)

$(3, 12)$

(- 3, 6)

$(- 3, 6)$

(3, 12)

$(3, 12)$

(- 3, 6)

$(- 3, 6)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x

$A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre

- 3

$- 3$ e

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em

x + 9 - x^{2} - x

$x + 9 - x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

x

$x$ de

x

$x$ .

9 - x^{2} + 0

$9 - x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some

9 - x^{2}

$9 - x^{2}$ e

0

$0$ .

9 - x^{2}

$9 - x^{2}$

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x

$\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x

$\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x

$9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Como

- 1

$- 1$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

- 1

$- 1$ para fora da integral.

9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x

$9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

x^{2}

$x^{2}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

x^{3}

$x^{3}$ .

9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Avalie

9 x

$9 x$ em

3

$3$ e em

- 3

$- 3$ .

(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})

$(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ em

3

$3$ e em

- 3

$- 3$ .

9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.1

Multiplique

9

$9$ por

3

$3$ .

27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique

- 9

$- 9$ por

- 3

$- 3$ .

27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3

Some

27

$27$ e

27

$27$ .

54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.4

Eleve

3

$3$ à potência de

3

$3$ .

54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5

Cancele o fator comum de

27

$27$ e

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.1

Fatore

3

$3$ de

27

$27$ .

54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.2.1

Fatore

3

$3$ de

3

$3$ .

54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.4

Divida

$9$ por

$1$ .

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.6

Eleve

$- 3$ à potência de

$3$ .

$54 - (9 - \frac{- 27}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7

Cancele o fator comum de

$- 27$ e

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.7.1

Fatore

$3$ de

$- 27$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.7.2.1

Fatore

$3$ de

$3$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$54 - (9 - \frac{- 9}{1})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.4

Divida

$- 9$ por

$1$ .

$54 - (9 - - 9)$

Etapa 3.8.2.3.8

Multiplique

$- 1$ por

$- 9$ .

$54 - (9 + 9)$

Etapa 3.8.2.3.9

Some

$9$ e

$9$ .

$54 - 1 \cdot 18$

Etapa 3.8.2.3.10

Multiplique

$- 1$ por

$18$ .

$54 - 18$

Etapa 3.8.2.3.11

Subtraia

$18$ de

$54$ .

$36$

Etapa 4

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