Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 9$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + x = x + 9$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + x = x + 9$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - x = 9$

Etapa 1.2.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + x - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$x^{2} + 0 = 9$

Etapa 1.2.1.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = (3) + 9$

Etapa 1.3.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = (3) + 9$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 + 9$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (3) + 9$

Etapa 1.3.2.3

Some $3$ e $9$ .

$y = 12$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = (- 3) + 9$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 3$ por $x$ em $y = (- 3) + 9$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 + 9$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 3) + 9$

Etapa 1.4.2.3

Some $- 3$ e $9$ .

$y = 6$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 12)$

$(- 3, 6)$

$(3, 12)$

$(- 3, 6)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em $x + 9 - x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$9 - x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $9 - x^{2}$ e $0$ .

$9 - x^{2}$

$\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Avalie $9 x$ em $3$ e em $- 3$ .

$(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 3$ .

$9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3

Some $27$ e $27$ .

$54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.1

Fatore $3$ de $27$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.6

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$54 - (9 - \frac{- 27}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.7.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$54 - (9 - \frac{- 9}{1})$

Etapa 3.8.2.3.7.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$54 - (9 - - 9)$

Etapa 3.8.2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$54 - (9 + 9)$

Etapa 3.8.2.3.9

Some $9$ e $9$ .

$54 - 1 \cdot 18$

Etapa 3.8.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$54 - 18$

Etapa 3.8.2.3.11

Subtraia $18$ de $54$ .

$36$

Etapa 4

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