Cálculo Exemplos

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

Etapa 1

Escreva

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ como uma função.

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ em

x = 1

$x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável

x

$x$ por

1

$1$ na expressão.

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Some

1

$1$ e

3

$3$ .

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

f (1) = 16

$f (1) = 16$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é

16

$16$ .

16

$16$

16

$16$

16

$16$

Etapa 2.2

Como

16 = 16

$16 = 16$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

m

$m$

=

$=$ A derivada de

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em

x = x + h

$x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável

x

$x$ por

x + h

$x + h$ na expressão.

f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Reescreva

{(x + h + 3)}^{2}

${(x + h + 3)}^{2}$ como

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Etapa 5.1.2.2

Expanda

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.2

Mova

3

$3$ para a esquerda de

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.3

Multiplique

h

$h$ por

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.4

Mova

3

$3$ para a esquerda de

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Etapa 5.1.2.3.5

Multiplique

3

$3$ por

3

$3$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.4

Some

x h

$x h$ e

h x

$h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.4.1

Reordene

x

$x$ e

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.4.2

Some

h x

$h x$ e

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.5

Some

3 x

$3 x$ e

3 x

$3 x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Etapa 5.1.2.6

Some

3 h

$3 h$ e

3 h

$3 h$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.1.2.7

A resposta final é

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.2.2

Reordene

2 h x

$2 h x$ e

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Etapa 6

Substitua os componentes.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Etapa 7.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique

6

$6$ por

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.3

Subtraia

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.4

Some

h^{2}

$h^{2}$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Etapa 7.1.5

Subtraia

6 x

$6 x$ de

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Etapa 7.1.6

Some

h^{2}

$h^{2}$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Etapa 7.1.7

Subtraia

9

$9$ de

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.8

Some

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ e

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9

Fatore

h

$h$ de

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.9.1

Fatore

$h$ de

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9.2

Fatore

$h$ de

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Etapa 7.1.9.3

Fatore

$h$ de

$6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Etapa 7.1.9.4

Fatore

$h$ de

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Etapa 7.1.9.5

Fatore

$h$ de

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de

$h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida

$h + 2 x + 6$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Etapa 7.2.2

Reordene

$h$ e

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Etapa 8.2

Avalie o limite de

$2 x$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Etapa 8.3

Avalie o limite de

$6$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Etapa 9

Avalie o limite de

$h$ substituindo

$0$ por

$h$ .

$2 x + 0 + 6$

Etapa 10

Some

$2 x$ e

$0$ .

$2 x + 6$

Etapa 11

Simplifique

$2 (1) + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$m = 2 + 6$

Etapa 11.2

Some

$2$ e

$6$ .

$m = 8$

Etapa 12

A inclinação é

$m = 8$ , e o ponto é

$(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Etapa 13

Encontre o valor de

$b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar

$b$ .

$y = m x + b$

Etapa 13.2

Substitua o valor de

$m$ na equação.

$y = (8) \cdot x + b$

Etapa 13.3

Substitua o valor de

$x$ na equação.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Etapa 13.4

Substitua o valor de

$y$ na equação.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Etapa 13.5

Encontre o valor de

$b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva a equação como

$(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Etapa 13.5.2

Multiplique

$8$ por

$1$ .

$8 + b = 16$

Etapa 13.5.3

Mova todos os termos que não contêm

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.3.1

Subtraia

$8$ dos dois lados da equação.

$b = 16 - 8$

Etapa 13.5.3.2

Subtraia

$8$ de

$16$ .

$b = 8$

Etapa 14

Agora que os valores de

$m$ (inclinação) e

$b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em

$y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 8 x + 8$

Etapa 15

Insira SEU problema