Cálculo Exemplos

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 10)

$(1, 10)$

Etapa 1

Escreva

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ como uma função.

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ em

x = 1

$x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável

x

$x$ por

1

$1$ na expressão.

f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique

7

$7$ por

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3 (1)

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

Etapa 2.1.2.2

Some

7

$7$ e

3

$3$ .

f (1) = 10

$f (1) = 10$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é

10

$10$ .

10

$10$

10

$10$

10

$10$

Etapa 2.2

Como

10 = 10

$10 = 10$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

m

$m$

=

$=$ A derivada de

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em

$x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Reescreva

${(x + h)}^{2}$ como

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2

Expanda

$(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1.1

Multiplique

$x$ por

$x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.1.2

Multiplique

$h$ por

$h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2

Some

$x h$ e

$h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.2.1

Reordene

$x$ e

$h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2.2

Some

$h x$ e

$h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.5

Multiplique

$2$ por

$7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova

$3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.2

Mova

$7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.3

Reordene

$14 h x$ e

$7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.2

Multiplique

$7$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.3

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.4

Subtraia

$7 x^{2}$ de

$7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.5

Some

$7 h^{2}$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.6

Subtraia

$3 x$ de

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.7

Some

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ e

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8

Fatore

$h$ de

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1

Fatore

$h$ de

$7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.2

Fatore

$h$ de

$14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.3

Fatore

$h$ de

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.8.4

Fatore

$h$ de

$h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.8.5

Fatore

$h$ de

$h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de

$h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida

$7 h + 14 x + 3$ por

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Etapa 7.2.2

Reordene

$7 h$ e

$14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.2

Avalie o limite de

$14 x$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.3

Mova o termo

$7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.4

Avalie o limite de

$3$ , que é constante à medida que

$h$ se aproxima de

$0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Etapa 9

Avalie o limite de

$h$ substituindo

$0$ por

$h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique

$7$ por

$0$ .

$14 x + 0 + 3$

Etapa 10.2

Some

$14 x$ e

$0$ .

$14 x + 3$

Etapa 11

Simplifique

$14 (1) + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique

$14$ por

$1$ .

$m = 14 + 3$

Etapa 11.2

Some

$14$ e

$3$ .

$m = 17$

Etapa 12

A inclinação é

$m = 17$ , e o ponto é

$(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Etapa 13

Encontre o valor de

$b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar

$b$ .

$y = m x + b$

Etapa 13.2

Substitua o valor de

$m$ na equação.

$y = (17) \cdot x + b$

Etapa 13.3

Substitua o valor de

$x$ na equação.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Etapa 13.4

Substitua o valor de

$y$ na equação.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Etapa 13.5

Encontre o valor de

$b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva a equação como

$(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Etapa 13.5.2

Multiplique

$17$ por

$1$ .

$17 + b = 10$

Etapa 13.5.3

Mova todos os termos que não contêm

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.3.1

Subtraia

$17$ dos dois lados da equação.

$b = 10 - 17$

Etapa 13.5.3.2

Subtraia

$17$ de

$10$ .

$b = - 7$

Etapa 14

Agora que os valores de

$m$ (inclinação) e

$b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em

$y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 17 x - 7$

Etapa 15

Insira SEU problema