Cálculo Exemplos

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ ,

[- 2, 1]

$[- 2, 1]$

Etapa 1

f

$f$ for contínua no intervalo

[a, b]

$[a, b]$ e diferenciável em

(a, b)

$(a, b)$ , então pelo menos um número real

c

$c$ existirá no intervalo

(a, b)

$(a, b)$ , de modo que

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em

x = c

$x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos

(a, f (a))

$(a, f (a))$ e

(b, f (b))

$(b, f (b))$ .

f (x)

$f (x)$ for contínuo em

[a, b]

$[a, b]$

e se

f (x)

$f (x)$ for diferenciável em

(a, b)

$(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto,

c

$c$ em

[a, b]

$[a, b]$ :

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em

$[- 2, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$3 x^{2} + 6 x - 5$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Como

$3$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$3 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como

$6$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$6 x$ em relação a

$x$ é

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique

$6$ por

$1$ .

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Como

$- 5$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 5$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$6 x + 6 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some

$6 x + 6$ e

$0$ .

$f' (x) = 6 x + 6$

Etapa 3.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$6 x + 6$ .

$6 x + 6$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em

$(- 2, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em

$(- 2, 1)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em

$(- 2, 1)$ , porque a derivada é contínua em

$(- 2, 1)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em

$[- 2, 1]$ e diferenciável em

$(- 2, 1)$ .

$f (x)$ é contínuo em

$[- 2, 1]$ e diferenciável em

$(- 2, 1)$ .

Etapa 7

Avalie

$f (a)$ a partir do intervalo

$[- 2, 1]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$f (- 2) = 12 + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique

$6$ por

$- 2$ .

$f (- 2) = 12 - 12 - 5$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia

$12$ de

$12$ .

$f (- 2) = 0 - 5$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia

$5$ de

$0$ .

$f (- 2) = - 5$

Etapa 7.2.3

A resposta final é

$- 5$ .

$- 5$

Etapa 8

Avalie

$f (b)$ a partir do intervalo

$[- 2, 1]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique

$3$ por

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique

$6$ por

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 - 5$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some

$3$ e

$6$ .

$f (1) = 9 - 5$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia

$5$ de

$9$ .

$f (1) = 4$

Etapa 8.2.3

A resposta final é

$4$ .

$4$

Etapa 9

Resolva

$6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para

$x$ .

$6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique

$\frac{(4) - (- 5)}{(1) - (- 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 5$ .

$6 x + 6 = \frac{4 + 5}{1 - (- 2)}$

Etapa 9.1.1.2

Some

$4$ e

$5$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 - (- 2)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 + 2}$

Etapa 9.1.2.2

Some

$1$ e

$2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{3}$

Etapa 9.1.3

Divida

$9$ por

$3$ .

$6 x + 6 = 3$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm

$x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia

$6$ dos dois lados da equação.

$6 x = 3 - 6$

Etapa 9.2.2

Subtraia

$6$ de

$3$ .

$6 x = - 3$

Etapa 9.3

Divida cada termo em

$6 x = - 3$ por

$6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida cada termo em

$6 x = - 3$ por

$6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum de

$- 3$ e

$6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1.1

Fatore

$3$ de

$- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Etapa 9.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1.2.1

Fatore

$3$ de

$6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 9.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 9.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em

$x = - \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais

$a = - 2$ e

$b = 1$

Existe uma reta tangente em

$x = - \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais

$a = - 2$ e

$b = 1$

Etapa 11

Insira SEU problema